Question

15．如圖所示，在容器A的頂部通過彈簧豎直懸掛小球B，小球B的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k．現(xiàn)將小球從彈簧原長處靜止釋放，第一次運動到最低點的時間為t．則在任意的$\frac{t}{2}$時間內(nèi)，小球下降的最大距離是$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$，彈簧的彈性勢能增加量最大值為$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．

Answer 1

分析 彈簧處于原長時靜止釋放小球，此時小球的加速度為g，方向豎直向下，根據(jù)簡諧運動的對稱性可知小球在最低點的加速度大小和方向，再由牛頓第二定律求出此時的彈力，即為最大彈力．

解答 解：彈簧處于原長時靜止釋放小球，此時小球的加速度為g，方向豎直向下，此后小球做簡諧運動．
當(dāng)彈簧的彈力與重力大小相等時，小球的速度最大，此位移是小球做簡諧振動的平衡位置．此時小球下降的距離：
$△x=\frac{mg}{k}$=A
A即為小球做簡諧振動的振幅．
小球做簡諧運動，根據(jù)簡諧運動的對稱性可知小球從平衡位置到最低點的過程經(jīng)歷的時間與從最高點到平衡位置的時間是相等的，所以由：小球第一次運動到最低點的時間為t可知，小球做簡諧振動的周期為：T=2t．
由小球做簡諧振動的特點可知，小球在平衡位置的附近的速度最大，所以小球在平衡位置附近的$\frac{t}{2}=\frac{T}{4}$時間內(nèi)下降的距離最大．
結(jié)合簡諧振動的振動方程：x=A$•sin\frac{2π}{T}•t$可知，在任意的$\frac{t}{2}$時間內(nèi)，小球下降的最大距離是：$2×\frac{\sqrt{2}}{2}A$=$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$
當(dāng)小球到達(dá)最低點時，彈簧的伸長量為：△x=2A=$\frac{2mg}{k}$
小球下降的距離也是2A，該過程中小球的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，則彈簧的最大彈性勢能為：
E_Pm=mg•△x=$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
故答案為：$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$；$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

點評 該題考查簡諧振動的位移與能量關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是抓住簡諧運動的對稱性，得到小球在最低點的位移的大��；同時還要掌握對振動方程的應(yīng)用．