Question

14．如圖所示．一只一端封閉的粗細(xì)均勻的玻璃管開(kāi)口向上，用一段長(zhǎng)度為h的水銀柱密封一定童的理想氣體，玻璃管靜止時(shí)氣柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)（圖甲）．現(xiàn)將該玻璃管從傾角為θ的斜面頂端由靜止釋放，并沿斜面向下運(yùn)動(dòng)（圖乙）．已知玻璃管與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．水銀密度為ρ．重力加速度為g，大氣壓強(qiáng)為p₀，氣體溫度不變，斜面足夠長(zhǎng)．求：
（i）玻璃管豎直靜止時(shí)，氣體的壓強(qiáng)；
（ii）玻璃管在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，玻璃管內(nèi)氣柱的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）對(duì)水銀柱進(jìn)行受力分析，結(jié)合共點(diǎn)力的平衡即可求出氣體的壓強(qiáng)；
（2）玻璃管沿斜面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)出加速度，將受力分析與牛頓第二定律結(jié)合，求出水銀柱的加速度的表達(dá)式，進(jìn)而求出氣體的壓強(qiáng)，最后由玻意耳定律求出氣體的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)玻璃管豎直放置時(shí)氣體的壓強(qiáng)為P₁，水銀柱受到重力、大氣壓力與氣體對(duì)水銀柱的向上的壓力，由力的平衡得：
P₀S+mg=P₁S  ①
又：mg=ρV=ρSh  ②
聯(lián)立①②得：P₁=P₀+ρgh  ③
（2）玻璃管沿斜面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
得：a=g（sinθ-μcosθ）
設(shè)玻璃管在斜面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中氣體的壓強(qiáng)是P₂，氣柱的長(zhǎng)度是L′，研究水銀柱的受力的情況，根據(jù)牛頓第二定律得：
P₀S+mgsinθ-P₂S=ma
解得：P₂=P₀+ρgh•μcosθ
由玻意耳定律：P₁L=P₂L′
解得：$L′=\frac{（{P}_{0}+ρgh）L}{{P}_{0}+μρgh•cosθ}$
答：（i）玻璃管豎直靜止時(shí)，氣體的壓強(qiáng)是P₀+ρgh；
（ii）玻璃管在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，玻璃管內(nèi)氣柱的長(zhǎng)度$\frac{（{P}_{0}+ρgh）L}{{P}_{0}+μρgh•cosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 利用理想氣體狀態(tài)方程解題，關(guān)鍵是正確選取狀態(tài)，明確狀態(tài)參量，尤其是正確求解被封閉氣體的壓強(qiáng)，這是熱學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)，要加強(qiáng)訓(xùn)練，加深理解．