Question

10．如圖所示，光滑軌道固定在豎直平面內(nèi)，其中BCD為細(xì)管，AB只有內(nèi)軌道，AB段和BC段均為半徑為R的四分之一圓弧．一小球從距離水平地面高為H（未知）的管口D處?kù)o止釋放，最后恰能夠到達(dá)A點(diǎn)，并水平拋出落到地面上．求：
（1）小球到達(dá)A點(diǎn)速度v_A；
（2）D點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度．
（3）小球平拋落到地面的速度．

Answer 1

分析 （1）小球恰能夠到達(dá)A點(diǎn)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解v_A；
（2）從D到A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出D點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度；
（3）對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求小球平拋落到地面的速度．

解答 解：（1）小球恰能夠到達(dá)A點(diǎn)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得小球到達(dá)A點(diǎn)速度為：v_A=$\sqrt{gR}$．
（2）設(shè)D點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度為h．從D到A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，則得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：h=0.5R
（3）設(shè)小球平拋落到地面的速度大小為v．由上可得：
H=2R+0.5R=2.5R
對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律得：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{5gR}$
答：（1）小球到達(dá)A點(diǎn)速度v_A是$\sqrt{gR}$
（2）D點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度是0.5R．
（3）小球平拋落到地面的速度是$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要知道軌道光滑時(shí)，往往運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求速度，要掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．