Question

9．如圖所示，一邊長為L的正三角形abO，bO邊位于直角坐標(biāo)系的x軸上，O點(diǎn)正是坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形三邊的中點(diǎn)分別為c、d、e、df垂直于aO邊、垂足為d，df與y軸的交點(diǎn)為f，cd與y軸的交點(diǎn)為g，在cg下方的三角形內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，gh平行于df、且垂直于fi、垂足為i，以fi、gh為邊界的足夠大范圍存在平行于fi的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E．現(xiàn)從e點(diǎn)垂直于bO邊以速度v₀入射一帶正電的粒子，不計粒子的重力，粒子的荷質(zhì)比為k，該粒子以最短時間通過磁場后運(yùn)動到d點(diǎn)，并且垂直于aO邊離開磁場．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)；
（3）粒子從e點(diǎn)開始運(yùn)動到電場中速度方向平行y軸的過程，所用時間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子以最短時間通過磁場后運(yùn)動到d點(diǎn)，并且垂直于aO邊離開磁場，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子的軌道半徑，通過半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，將粒子運(yùn)動分解為垂直電場方向和沿電場方向，結(jié)合牛頓第二定律，運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式求出類平拋運(yùn)動的時間以及到達(dá)y軸的位置到f點(diǎn)的距離，根據(jù)幾何關(guān)系求出Of的間距，從而得出粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．
（3）分別求出粒子在磁場中的運(yùn)動時間，出磁場后勻速運(yùn)動的時間，以及類平拋運(yùn)動的時間，從而得出總時間．

解答 解：（1）該粒子以最短時間通過兩磁場后運(yùn)動到d點(diǎn)，并且垂直于aO邊離開磁場，由幾何關(guān)系有：$r=\frac{L}{2}$      ①
粒子做勻速圓周運(yùn)動，有$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$      ②
由①②得B=$\frac{2{v}_{0}}{Lk}$．
（2）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，設(shè)粒子再次到達(dá)y軸的位置到f點(diǎn)的間距為S．
Ssin30°=v₀t，$Scos30°=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$      ④
由④得t=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$，S=$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}$．⑤
由幾何關(guān)系知$\overline{Of}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$    ⑥
粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的縱坐標(biāo)Y=S+$\overline{Of}$=$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}+\frac{\sqrt{3}}{3}L$，⑦
粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}+\frac{\sqrt{3}}{3}L$）．
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的時間${t}_{1}=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}T$   ⑧
粒子做勻速圓周運(yùn)動的周期T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{πL}{{v}_{0}}$  ⑨
由 ⑧⑨得${t}_{1}=\frac{πL}{6{v}_{0}}$ ⑩
粒子勻速運(yùn)動所用時間${t}_{2}=\frac{\overline{df}}{{v}_{0}}=\frac{\frac{L}{2}tan30°}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}L}{6{v}_{0}}$⑪
粒子到電場中速度方向平行y軸的過程，所用時間${t}_{3}=\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$⑫
故總時間為t_總=t₁+t₂+t₃=$\frac{L}{6{v}_{0}}（π+\sqrt{3}）+\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{2{v}_{0}}{Lk}$；
（2）粒子過f點(diǎn)后再次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，$\frac{4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{kE}+\frac{\sqrt{3}}{3}L$）；
（3）粒子從e點(diǎn)開始運(yùn)動到電場中速度方向平行y軸的過程，所用時間是$\frac{L}{6{v}_{0}}（π+\sqrt{3}）+\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{kE}$．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，關(guān)鍵理清粒子在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，對于粒子在磁場中運(yùn)動，一般運(yùn)用半徑公式、周期公式和幾何關(guān)系進(jìn)行求解，對于粒子在電場中運(yùn)動，一般采用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式或動能定理進(jìn)行求解．