Question

9．物理中存在“通量”這個(gè)物理量，“通量”的定義要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)．在高中階段，對(duì)“通量”的定義采用的是簡(jiǎn)單化處理方法并輔以形象化物理模型進(jìn)行理解．
（1）“磁通量”就是一種常見的“通量”．在高中階段我們是這樣來(lái)定義“磁通量”的：設(shè)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直的平面，面積為S，我們把B與S的乘積叫做穿過(guò)這個(gè)面積的磁通量（圖1），簡(jiǎn)稱磁通．用字母ϕ表示，則ϕ=BS．磁通量可以形象地理解為穿過(guò)某一面積的磁感線條數(shù)的多少．如圖2所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一個(gè)面積為S的矩形線圈與豎直面間的夾角為θ，試求穿過(guò)該矩形線圈的磁通量ϕ．

（2）“電通量”也是一種常見的“通量”．在定義“電通量”時(shí)只需要把“磁通量”中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B替換為電場(chǎng)強(qiáng)度E即可．請(qǐng)同學(xué)們充分運(yùn)用類比的方法解決以下問(wèn)題．已知靜電力常量為k．

a．如圖3所示，空間存在正點(diǎn)電荷Q，以點(diǎn)電荷為球心作半徑為R的球面，試求通過(guò)該球面的電通量ϕ_E1．
b．上述情況映射的是靜電場(chǎng)中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫(kù)侖定律出發(fā)得到嚴(yán)格證明．“高斯定理”可表述為：通過(guò)靜電場(chǎng)中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內(nèi)所含電荷量Q與4πk的乘積，即ϕ_E=4πkQ，其中k為靜電力常量．試根據(jù)“高斯定理”證明：一個(gè)半徑為R的均勻帶電球體（或球殼）在外部產(chǎn)生的電場(chǎng)，與一個(gè)位于球心的、電荷量相等的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，球外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度也是E=k$\frac{Q}{r^2}$（r＞R），式中r是球心到該點(diǎn)的距離，Q為整個(gè)球體所帶的電荷量．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)線圈與磁場(chǎng)垂直，穿過(guò)線圈的磁通量等于磁感應(yīng)強(qiáng)度與線圈面積的乘積．當(dāng)它轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí)，線圈在磁場(chǎng)垂直方投影面積為Scosθ，磁通量等于磁感應(yīng)強(qiáng)度與這個(gè)投影面積的乘積．
（2）a、根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，求得球面上各處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；然后結(jié)合電通量的定義即可求出；
b、結(jié)合電通量的概念與庫(kù)侖定律即可證明高斯定理．

解答 解答：（1）當(dāng)面積為S的矩形線圈與豎直面間的夾角為θ時(shí)，線圈在磁場(chǎng)垂直方投影面積為Scosθ，磁通量：ϕ=B•S_⊥=BScosθ
（2）a．根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，求得球面上各處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：$E=k\frac{Q}{R^2}$，
由于球面上各處電場(chǎng)強(qiáng)度方向都與球面垂直，故通過(guò)球面的電通量為：${ϕ_{E_1}}=ES=k\frac{Q}{{{R^2}_{\;}}}•4π{R^2}=4πkQ$
b．證明：過(guò)距離球心距離r的點(diǎn)作一球面，根據(jù)對(duì)稱性可知該球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向處處球面垂直．設(shè)該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，通過(guò)該球面的電通量為ϕ_E，則有：${ϕ_E}=ES=4π{r^2}E$
由高斯定理知：ϕ_E=4πkQ
所以有：4πr²E=4πkQ，
化簡(jiǎn)得：$E=k\frac{Q}{r^2}$，這就是球心處的點(diǎn)電荷Q在r處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，證明完畢．
答：（1）穿過(guò)該矩形線圈的磁通量ϕ為BScosθ；
（2）a、通過(guò)該球面的電通量為4πkQ；b、證明見前．

點(diǎn)評(píng) 本題（1）要知道對(duì)于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁通量計(jì)算的一般公式Φ=BScosθ，θ是線圈與磁場(chǎng)垂直方向的夾角．夾角變化，磁通量也會(huì)變化．
（2）屬于對(duì)磁通量的類別與知識(shí)遷移，解答的關(guān)鍵是理解題目的要求，將磁通量的概念與相關(guān)的方法遷移到對(duì)電通量的理解．