Question

7．如圖所示，傾角為θ=30^o的光滑斜面上有固定擋板AB，斜面上B、C 兩點(diǎn)間高度差為h．斜面上疊放著質(zhì)量均為m的薄木板和小物塊，木板長(zhǎng)為L(zhǎng)，下端位于擋板AB處，整體處于靜止?fàn)顟B(tài)．木板和物塊兩者間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．重力加速度為g． 
（1）若木板和物塊一起以某初速度沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，木板上端恰能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求初速度大小v₀；
（2）若對(duì)木板施加沿斜面向上的拉力，為使木板上滑且與物塊間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，求拉力應(yīng)滿足的條件；
（3）若給木板施加大小為F=2mg、方向沿斜面向上的拉力，此后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊始終未脫離木板，要使木板上端恰能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求拉力F作用的時(shí)間t₁．

Answer 1

分析 （1）木板和小物塊整體向上滑動(dòng)的過(guò)程，由動(dòng)能定理求初速度大小v₀；
（2）對(duì)木板施加沿斜面向上的拉力，木板與物塊間恰好沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，兩者間的靜摩擦力達(dá)到最大值，對(duì)整體和物塊分別運(yùn)用牛頓第二定律列式，結(jié)合摩擦力公式求拉力應(yīng)滿足的條件．
（3）物塊相對(duì)木板滑動(dòng)過(guò)程中，由牛頓第二定律求出物塊和木板的加速度．由速度公式求出兩者達(dá)到相同速度的時(shí)間．共速后兩者一起幫勻減速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合位移時(shí)間公式求拉力F作用的時(shí)間t．

解答 解：（1）研究木板和小物塊整體，由動(dòng)能定理有
-2mg（h-Lsinθ）=0-$\frac{1}{2}•2m{v}_{0}^{2}$
解得  v₀=$\sqrt{g（2h-L）}$
（2）設(shè)物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大加速度為a，最大拉力為F_m，則
μmgcosθ-mgsinθ=ma
對(duì)整體有  F_m-2mgsinθ=2ma
解得  F_m=1.5mg
要使整體能沿斜面上升應(yīng)滿足  F＞2mgsinθ=mg
所以  mg＜F≤1.5mg
（3）物塊相對(duì)木板滑動(dòng)過(guò)程中，設(shè)物塊的加速度為a₁，有拉力作用時(shí)木板的加速度為a₂，撤去拉力后木板的加速度大小為a₃，則
對(duì)物塊  μmgcosθ-mgsinθ=ma₁．
對(duì)木板  F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₂．
     mgsinθ+μmgcosθ=ma₃．
解得 a₁=$\frac{1}{4}$g，a₂=$\frac{3}{4}$g，a₃=$\frac{5}{4}$g
在t₁時(shí)刻小物塊的速度為v₁，木板的速度v₂，則
  v₁=a₁t₁，v₂=a₂t₁．
設(shè)撤去拉力后，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂二者速度相同，則
   v₃=v₂-a₃t₂=v₁+a₁t₂
此后二者一起勻減速上滑，設(shè)加速度大小為a₄，則
   2mgsinθ=2ma₄．
全過(guò)程中木板的位移  x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$+a₂t₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$+$\frac{{v}_{3}^{2}}{2{a}_{4}}$
由幾何關(guān)系有  $\frac{h}{sinθ}$=x+L
聯(lián)列解得拉力F作用的時(shí)間 t₁=$\sqrt{\frac{3（2h-L）}{2g}}$ 
答：（1）初速度大小v₀是$\sqrt{g（2h-L）}$．
（2）拉力應(yīng)滿足的條件是mg＜F≤1.5mg．
（3）拉力F作用的時(shí)間t₁是$\sqrt{\frac{3（2h-L）}{2g}}$．

點(diǎn)評(píng) 在應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問(wèn)題時(shí)，要注意物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，同時(shí)要把握隱含的臨界條件，如兩個(gè)物體間剛要相對(duì)滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大．物塊在木板上滑行時(shí)要考慮速度相同的狀態(tài)．