Question

2．如圖甲所示，在變長為L的正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感應(yīng)強度為B，在勻強磁場區(qū)域的左側(cè)有一電子槍，電子槍的陰極在單位時間內(nèi)產(chǎn)生的電子數(shù)相同，電子槍的兩極間加圖乙所示的加速電壓，電子從電子槍射出后沿bc方向進入勻強磁場區(qū)域，已知電子的荷質(zhì)比（比荷）為$\frac{e}{m}$，電子運動中不受任何阻力，電子在電子槍中運動的時間忽略不計，求：

（1）進入磁場的電子在磁場中運動的最長時間t₁與最短時間t₂的比值；
（2）若在0-T₀時間內(nèi)射入磁場的電子數(shù)為N₀，則這些電子中有多少個電子從dc邊射出磁場？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子的最大速度，結(jié)合半徑公式求出最大半徑，從而通過幾何關(guān)系求出圓心角的最小值和最大值，根據(jù)周期公式求出運動的時間之比．
（2）抓住粒子從dc邊離開的臨界狀態(tài)，結(jié)合半徑公式和動能定理求出電壓的范圍，從而得出電子從dc邊射出的個數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)粒子進入磁場的最大速度為v_m，根據(jù)動能定理得，$e•\frac{2{B}^{2}{L}^{2}e}{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，
解得最大速度${v}_{m}=\frac{2BLe}{m}$，
則粒子在磁場中運動的最大軌道半徑${r}_{m}=\frac{m{v}_{m}}{eB}=2L$．
此時對應(yīng)的圓心角最小，根據(jù)幾何關(guān)系得，圓心角θ₁=$\frac{π}{6}$，此時運動的時間最短，最短時間${t}_{2}=\frac{{θ}_{1}}{2π}T=\frac{T}{12}$，
粒子在磁場中運動的最大圓心角為π，則最長時間${t}_{1}=\frac{1}{2}T$，
可知t₁：t₂=6：1．

（2）粒子從d點射出時，軌道半徑為r=L，
根據(jù)$r=\frac{mv}{eB}$知，粒子進入磁場時的速度v=$\frac{eBr}{m}$=$\frac{eBL}{m}$，
根據(jù)動能定理得，$eU′=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得U′=$\frac{e{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$，
可知電壓范圍為$\frac{e{B}^{2}{L}^{2}}{2m}≤U≤\frac{2{B}^{2}{L}^{2}e}{m}$，電子從dc邊射出磁場，
由圖象可知在$\frac{{T}_{0}}{4}≤t≤{T}_{0}$時間內(nèi)的電子從dc邊射出磁場，粒子的個數(shù)n=$\frac{3}{4}{N}_{0}$．
答：（1）進入磁場的電子在磁場中運動的最長時間t₁與最短時間t₂的比值為6：1；
（2）這些電子中有$\frac{3}{4}{N}_{0}$個電子從dc邊射出磁場．

點評 本題考查了帶電粒子在電場中的加速和在磁場中的偏轉(zhuǎn)，對粒子在磁場中的運動，關(guān)鍵作出軌跡圖，結(jié)合臨界情況得出半徑的臨界值，結(jié)合半徑公式和周期公式進行求解．