Question

8．如圖1，真空中有足夠大的兩個(gè)互相平行的金屬板，a、b之間的距離為d，兩板之間的電壓為U_ab=U_a-U_b，按如圖2所示的規(guī)律變化，其周期為T，在t=0時(shí)刻，一帶正電的粒子僅在電場(chǎng)力作用下，由a板從靜止向b板運(yùn)動(dòng)，并于t=nT（n為自然數(shù)）時(shí)刻恰好到達(dá)b板，求：
（1）若該粒子在t=$\frac{1}{6}$T時(shí)刻才從a板開始運(yùn)動(dòng)，那么粒子經(jīng)歷同樣長(zhǎng)的時(shí)間，它能運(yùn)動(dòng)到離a板多遠(yuǎn)的距離？
（2）在t=$\frac{1}{6}$T時(shí)刻才從a板開始運(yùn)動(dòng)，那么粒子經(jīng)歷多長(zhǎng)的時(shí)間到達(dá)b板．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻進(jìn)入，粒子先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移公式求出一個(gè)周期內(nèi)的位移，t=$\frac{1}{6}$T時(shí)刻進(jìn)入，在每個(gè)周期內(nèi)，前三分之二周期向前運(yùn)動(dòng)，后三分之一周期返回，求出一個(gè)周期內(nèi)的位移，抓住時(shí)間相等，得出運(yùn)動(dòng)離a板的距離．
（2）帶電粒子在每一個(gè)周期當(dāng)中都存在著來回的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此可預(yù)見到在最后一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，從b板所在位置來講，理論上帶電粒子恰好兩次經(jīng)過b板，其實(shí)在第一次經(jīng)過就已碰上b，所以根本不存在第二次，減去后面的時(shí)間，得出粒子到達(dá)b板的時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)帶正電粒子從在t=0時(shí)刻，一帶電的粒子僅在電場(chǎng)力作用下，由a板從靜止向b板運(yùn)動(dòng)過程中，前半個(gè)周期加速，后半個(gè)周期減速為零，如此反復(fù)一直向前運(yùn)動(dòng)，它在一個(gè)周期內(nèi)的位移是：$s=2×\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}=\frac{1}{4}a{T^2}$
所以    $d=ns=\frac{1}{4}na{T^2}$（n=1.2.3…）
若該粒子在$t=\frac{1}{6}T$時(shí)刻才從a板開始運(yùn)動(dòng)，則在每個(gè)周期內(nèi)，前三分之二周期向前運(yùn)動(dòng)，后三分之一周期返回，一個(gè)周期的總位移：$s'=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{3}）^2}×2-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{6}）^2}×2=\frac{1}{12}a{T^2}$
粒子經(jīng)歷同樣長(zhǎng)的時(shí)間，總位移為：$d'=ns'=\frac{1}{12}na{T^2}$（n=1.2.3…）
因此  $d'=\frac{1}{3}d$
離a板距離為$\frac{1}{3}d$．
（2）因?yàn)?d'=\frac{1}{3}d$，所以從總位移的角度來講，到達(dá)b板的時(shí)間也應(yīng)該為原來的3倍即：t'=3t=3nT，但要注意的是帶電粒子在每一個(gè)周期當(dāng)中都存在著來回的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此可預(yù)見到在最后一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，從b板所在位置來講，理論上帶電粒子恰好兩次經(jīng)過b板，其實(shí)在第一次經(jīng)過就已碰上b，所以根本不存在第二次，因此后面的時(shí)間要減去（如圖甲）
要減去的時(shí)間為$△t={t_x}+2×\frac{1}{6}T$
最后過程可倒過來看：$\frac{1}{2}at_x^2=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{6}）^2}×2$${t_x}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}T$所以$△t=\frac{{\sqrt{2}}}{6}T+\frac{1}{3}T$
可得：$t=3nT-\frac{T}{3}-\frac{{\sqrt{2}}}{6}T$
答：（1）它能運(yùn)動(dòng)到離a板$\frac{1}{3}d$的距離．
（2）粒子到達(dá)b板經(jīng)歷的時(shí)間為$t=3nT-\frac{T}{3}-\frac{{\sqrt{2}}}{6}T$．

點(diǎn)評(píng) 由于粒子不是在電場(chǎng)中一直處于加速或減速，所以導(dǎo)致分析運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜．當(dāng)然第2個(gè)問題也可以假設(shè)b板向下移動(dòng)到最后一個(gè)周期末速度為零的位置，這算出整段時(shí)間，再去移動(dòng)距離的時(shí)間．