Question

7．在用高級(jí)瀝青鋪設(shè)的高速公路上，對(duì)汽車的設(shè)計(jì)限速是30m/s．汽車在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍．（g=10m/s²）
（1）如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？
（2）如果高速路上設(shè)計(jì)了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠安全通過（不起飛）圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是多少？
（3）如果彎道的路面設(shè)計(jì)為傾斜（外高內(nèi)低），彎道半徑為120m，要使汽車通過此彎道時(shí)不產(chǎn)生側(cè)向摩擦力，則彎道路面的傾斜角度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最大靜摩擦力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出彎道的最小半徑；
（2）在拱橋橋頂，抓住臨界狀態(tài)，即壓力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出圓弧拱橋的最小半徑；
（3）根據(jù)重力和支持力的合力提供向心力求出彎道的傾斜角度．

解答 解：（1）汽車在水平路面上拐彎，或視為汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是車與路面間的最大靜摩擦力，
有0.6mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，由速度v=30m/s，解得彎道半徑r=150m，
（2）汽車過拱橋，看作在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，有$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{R}$
為了保證安全，車對(duì)路面的壓力N必須大于零．有mg$≥m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得R≥90m．
（3）設(shè)彎道傾斜角度為θ，汽車通過此彎道時(shí)向心力由重力及支持力的合力提供，有
$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得tanθ=$\frac{3}{4}$；
故彎道路面的傾斜角度 θ=37°．
答：（1）其彎道的最小半徑是150m；
（2）這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是90m；
（3）彎道路面的傾斜角度是37°．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在各種情況下，汽車做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大．