Question

10．設(shè)地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，速度為v．而太陽(yáng)圍繞銀河系中心的運(yùn)動(dòng)也可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度約為地球公轉(zhuǎn)速度的7倍，軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的2×10⁹倍．為了粗略估算銀河系中恒星的數(shù)目，可認(rèn)為銀河系中所有恒星的質(zhì)量都集中在銀河系中心，且銀河系中恒星的平均質(zhì)量約等于太陽(yáng)質(zhì)量．（萬(wàn)有引力常量用G表示）
（1）求：太陽(yáng)的質(zhì)量．
（2）估算銀河系中恒星的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 研究地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究太陽(yáng)繞銀河系運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力得出銀河系質(zhì)量．

解答 解：研究地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力充當(dāng)．根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
整理得：$M=\frac{{v}^{2}R}{G}$
太陽(yáng)繞銀河系運(yùn)動(dòng)也是由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，同理可得：
$M′=\frac{（7v）^{2}R′}{G}=\frac{49{v}^{2}×2×1{0}^{9}R}{G}$=$9.8×1{0}^{10}\frac{{v}^{2}R}{G}$=9.8×10¹⁰M
所以，銀河系中恒星數(shù)目約為：
N=$\frac{M′}{M}=9.8×1{0}^{10}≈1{0}^{11}$個(gè)
答：（1）太陽(yáng)的質(zhì)量為$\frac{{v}^{2}R}{G}$；
（2）銀河系中恒星數(shù)目約為10¹¹個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬(wàn)有引力定律的一般應(yīng)用，明確研究對(duì)象，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力找出中心體的質(zhì)量．