Question

3．光滑水平桌面上有一輕彈簧，用質量m=0.4kg的小球將彈簧緩慢壓縮，釋放后物塊從A點水平拋出，恰好由P點沿切線進入光滑圓管軌道MNP（圓管略大于小球），已知圓管軌道為半徑R=0.8m，且圓管剪去了左上角135°的圓弧，P點到桌面的水平距離是R，豎直距離也是R，MN為豎直直徑，g=10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）釋放時彈簧的彈性勢能；
（2）小球能否通過M點？如能通過，求出在該點對管的壓力．

Answer 1

分析 （1）物體恰好無碰撞落到P點，其豎直分速度可以根據(jù)落體規(guī)律求解，然后根據(jù)速度偏轉角求解水平分速度并得到P點速度，然后根據(jù)機械能守恒定律求解A點速度；對釋放小球的過程運用動能定理列式，聯(lián)立方程組求解；
（2）先根據(jù)A到M過程機械能守恒列式，若能過最高點列式，最后聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）設物塊由A點以初速v_A做平拋，落到P點時其豎直速度為：${v}_{y}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s
由于$\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}=tan45°$，解得v_A=4m/s
設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，則彈簧的彈性勢能轉化為物塊的動能，則：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.4×{4}^{2}=3.2$J
（2）由題意可知，A到M的過程中只有重力做功，滿足機械能守恒，若能到達M點，則：
$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}+mg（R+Rcos45°-R）$
代入數(shù)據(jù)得：v_M=2.165m/s
物塊能通過M點，設軌道對物塊的支持力的方向向上，重力與支持力的合力提供向心力，則：
$mg-{F}_{N}=\frac{m{v}_{M}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=1.656N
根據(jù)牛頓第三定律，物塊對軌道的壓力方向向下，大小為1.656N．
答：（1）釋放時彈簧的彈性勢能是3.2J；（2）小球能通過M點，物塊在該點對管的壓力是1.656N．

點評 該題中，物塊的運動包含水平面上的運動、平拋運動以及在圓軌道內的運動，解答本題關鍵要分析清楚物體的運動規(guī)律，然后多次運用機械能守恒定律列式，最后聯(lián)立方程組求解即可．