Question

11．如圖是一個半徑為R的光滑固定圓柱體的橫截面，一根輕繩兩端各系一個質量為m的小球A、B而處于靜止狀態(tài)，兩球與圓心在同一個水平線上，在受到輕微的擾動后，B球下落，A球上升，求A球到達圓柱體的最高點時對柱面的壓力．

Answer 1

分析 首先AB兩球一起運動，B著地后，A由于慣性，繼續(xù)向上運動，運動到最高點；據幾何關系求出一起運動時，A上升的高度和弧長，求出對應的角度，再據動能定理求出一起運動的末速度；再以A利用機械能守恒求出最高點的速度，從而求出壓力．

解答 解：據題可知，繩長L=πR
當AB一起運動，B著地，A的所在點到最高點的弧長：l=（$\frac{π}{2}-1$）R
設此時AB的共同速度為v，據動能定理得：mgR-mgRcos（$\frac{π}{2}-1$）=$\frac{1}{2}×$2mv²　　　①
當A繼續(xù)向上運動到最高點，
據動能定理得：-mgR[1-cos（$\frac{π}{2}-1$）]=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²　　　②
當A在最高點，據牛頓第二定律得：mg-F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$　　　　③
聯立①②③解得：F=2mg-mgcos（$\frac{π}{2}-1$）
據牛頓第三定律可知，A球隊圓柱的壓力為2mg-mgcos（$\frac{π}{2}-1$），方向向下．
答：球到達圓柱體的最高點時對柱面的壓力為2mg-mgcos（$\frac{π}{2}-1$），方向向下．

點評 此題難度較大，關鍵是找出繩長與B下落高度和A上升的弧長間的關系，求出上升的高度；在靈活利用機械能守恒和動能定理求解．