Question

6．如圖所示，一長為L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一個(gè)直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質(zhì)量為m．玻璃管右邊的空間存在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．磁場(chǎng)的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠(yuǎn)．玻璃管帶著小球以水平速度v₀垂直于左邊界向右運(yùn)動(dòng)，由于水平外力的作用，玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)后速度保持不變，經(jīng)一段時(shí)間后小球從玻璃管b端滑出并能在水平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，最后從左邊界飛離磁場(chǎng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中小球的電荷量保持不變，不計(jì)一切阻力，不計(jì)重力．求：
（1）小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大��；
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系；
（3）小球飛離磁場(chǎng)時(shí)速度的方向．

Answer 1

分析 （1）小球在管中的運(yùn)動(dòng)情況：小球隨管向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力豎直向上的分力大小不變，小球沿管向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出小球豎直向上的分速度，再與管速合成即可求出小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小；
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)至小球從b端滑出的過程中，水平方向受到的洛倫茲力的分力與外力平衡，由速度公式求出小球豎直向上的分速度與時(shí)間的關(guān)系，得到洛倫茲力的水平分力與時(shí)間的關(guān)系，即得到外力與時(shí)間的關(guān)系．
（3）小球離開管子后在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．先先求出球隨管向右的位移，由牛頓第二定律得到小球在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出小球飛離磁場(chǎng)時(shí)速度的方向與水平方向的夾角．

解答 解：（1）如圖所示，小球管中運(yùn)動(dòng)的加速度為：
 a=$\frac{{F}_{y}}{m}$=$\frac{q{v}_{0}B}{m}$…①
設(shè)小球運(yùn)動(dòng)至b端時(shí)的y方向速度分量為v_y，
則：v_y²=2aL…②
又：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$…③
由①～③式，可解得小球運(yùn)動(dòng)至b端時(shí)速度大小為：
v=$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}BL}{m}+{v}_{0}^{2}}$…④
（2）由平衡條件可知，玻璃管受到的水平外力為：
  F=F_x=Bv_yq…⑤
  v_y=at=$\frac{q{v}_{0}B}{m}$t…⑥
由⑤～⑥式可得外力隨時(shí)間變化關(guān)系為：F=$\frac{{q}^{2}{v}_{0}{B}^{2}}{m}$t…⑦
（3）設(shè)小球在管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₀，小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，軌跡如圖所示，
t₀時(shí)間內(nèi)玻璃管的運(yùn)動(dòng)距離 x=v₀t₀…⑧L=$\frac{1}{2}$at₀²…⑨
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑩
由幾何關(guān)系得：sinα=$\frac{x-{x}_{1}}{R}$…（11）$\frac{{x}_{1}}{R}$=$\frac{{v}_{y}}{v}$…（12）
由①～②、⑧～（12）式可得：sinα=0，
故α=0°，即小球飛離磁場(chǎng)時(shí)速度方向垂直于磁場(chǎng)邊界向左．
答：（1）小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小是$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}BL}{m}+{v}_{0}^{2}}$；
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系是：F=$\frac{{q}^{2}{v}_{0}{B}^{2}}{m}$t；
（3）小球飛離磁場(chǎng)時(shí)速度方向垂直于磁場(chǎng)邊界向左．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題方法有特殊，對(duì)小球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，要注意洛倫茲力與之對(duì)應(yīng)的分速度關(guān)系，運(yùn)用左手定則判斷．同時(shí)，要充分運(yùn)用幾何知識(shí)分析小球的運(yùn)動(dòng)軌跡．