Question

6．如圖所示，在水平面上方附近有一范圍足夠大的相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向水平并垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電微粒在此區(qū)域內(nèi)沿豎直平面（垂直于磁場(chǎng)方向的平面）做速度大小為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．
（1）求此區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向
（2）若某時(shí)刻微粒運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，速度與水平方向的夾角為60度．且知P點(diǎn)與水平地面間的距離的等于其做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．求該微粒運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離．
（3）當(dāng)帶電微粒運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，將電場(chǎng)強(qiáng)度的大小變?yōu)樵瓉?lái)的一半（電場(chǎng)方向不變，不計(jì)電場(chǎng)變化對(duì)原磁場(chǎng)的影響），且?guī)щ娢⒘Ｄ芙抵恋孛妫�求帶電微粒落至地面時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）由題，帶電微粒在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，帶電微粒所受的電場(chǎng)力和重力必定大小相等、方向相反．
（2）帶電微粒由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律救出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求出該微粒運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離．
（3）帶電微粒從最高點(diǎn)落至地面過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解帶電微粒落至地面時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）由于帶電微�？梢栽陔妶�(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)共存的區(qū)域內(nèi)沿豎直平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，表明帶電微粒所受的電場(chǎng)力和重力大小相等、方向相反．
因此電場(chǎng)強(qiáng)度的方向豎直向上．
設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則有mg=qE，即E=$\frac{mg}{q}$．
（2）設(shè)帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律和洛侖茲力公式有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，R=$\frac{mv}{Bq}$
依題意可畫(huà)出帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，由如圖所示的幾何關(guān)系可知，該微粒運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離為：h_m=$\frac{5}{2}$R=$\frac{5mv}{2Bq}$
（3）將電場(chǎng)強(qiáng)度的大小變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$，則電場(chǎng)力變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$，即F_電=$\frac{1}{2}$mg．
帶電微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，洛侖茲力不做功，所以在它從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至地面的過(guò)程中，只有重力和電場(chǎng)力做功．設(shè)帶電微粒落地時(shí)的速度大小為v_t，根據(jù)動(dòng)能定理有
mgh_m-F_電h_m=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv²
解得：v_t=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{5mgv}{2Bq}}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的方向豎直向上，大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）該微粒運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離是$\frac{5mv}{2Bq}$；
（3）帶電微粒落至地面時(shí)的速度大小為$\sqrt{{v}^{2}+\frac{5mgv}{2Bq}}$．

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件、牛頓第二定律、動(dòng)能定理等規(guī)律，及由洛倫茲力提供向心力來(lái)確定線速度大小與周期．同時(shí)借助于數(shù)學(xué)的幾何關(guān)系來(lái)確定已知長(zhǎng)度與圓弧半徑的關(guān)系．