Question

12．如圖所示，虛線框abcd內(nèi)為邊長均為L的正形勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場區(qū)域，電場強(qiáng)度的大小為E，方向向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，PQ為其分界線，現(xiàn)有一群質(zhì)量為m，電荷量為-e的電子（重力不計(jì)）從PQ中點(diǎn)與PQ成30°．角以不同的初速射入磁場，求：
（1）能從PQ邊離開磁場的電子在磁場運(yùn)動的時(shí)間．
（2）若要電子在磁場運(yùn)動時(shí)間最長，其初速v應(yīng)滿足的條件？
（3）若電子在滿足（2）中的條件下且以最大速度進(jìn)入磁場，最終從電場aP邊界飛出虛線框所具有的動能E_k．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心角，結(jié)合周期公式求出電子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間．
（2）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動軌跡圖，根據(jù)幾何知識求半徑和初速度v應(yīng)滿足的條件．
（3）電子在電場中做類平拋運(yùn)動，電場力做功，由動能定理即可列式求解．

解答 解：（1）由洛侖茲力充當(dāng)向心力：eBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ①
電子在磁場中運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πr}{v}$    ②
聯(lián)立①②解得；T=$\frac{2πm}{qB}$．
能從PQ邊進(jìn)入電場（如圖）．粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時(shí)間為t，由圖知
t=$\frac{5}{6}$T    ③
解得：t=$\frac{5πm}{3eB}$．
（2）當(dāng)電子軌跡與Pb邊相切時(shí)，有滿足條件的最大速度v，由幾何關(guān)系知其軌道半徑r滿足

r+rsin30°=$\frac{L}{2}$      ④
解得r=$\frac{L}{3}$
洛侖茲力充當(dāng)向心力：eBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立①④解得v=$\frac{eBL}{2m（1+sin30°）}=\frac{eBL}{3m}$．
因此，當(dāng)v≤$\frac{eBL}{3m}$時(shí)，電子在磁場運(yùn)動有最長時(shí)間．
（3）以最大速度v進(jìn)入電場，且從aP邊飛出時(shí)電子有最大動能E_KM，由動能定理：
eE（$\frac{L}{2}-\frac{L}{3}$）=E_km-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$          ⑥
解得E_km=$\frac{1}{6}eEL+\frac{{e}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{18m}$．
答：（1）能從PQ邊離開磁場的電子在磁場運(yùn)動的時(shí)間為$\frac{5πm}{3eB}$．
（2）若要電子在磁場運(yùn)動時(shí)間最長，其初速v應(yīng)滿足的條件為v≤$\frac{eBL}{3m}$．
（3）最終從電場aP邊界飛出虛線框所具有的動能為$\frac{1}{6}eEL+\frac{{e}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{18m}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運(yùn)動的問題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運(yùn)動情況，熟練掌握圓周運(yùn)動及平拋運(yùn)動的基本公式，難度適中．