Question

7．中心均開有小孔的金屬板C、D與邊長為d的正方形單匝金屬線圈連接，正方形框內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，大小隨時(shí)間變化的關(guān)系為B=kt（k未知且k＞0），E、F為磁場邊界，且與C、D板平行．D板正下方分布磁場大小均為B₀，方向如圖所示的勻強(qiáng)磁場．區(qū)域Ⅰ的磁場寬度為d，區(qū)域Ⅱ的磁場寬度足夠大．在C板小孔附近有質(zhì)量為m、電量為q的正離子由靜止開始加速后，經(jīng)D板小孔垂直進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅰ，不計(jì)離子重力．
（1）判斷金屬板CD之間的電場強(qiáng)度的方向和正方形線框內(nèi)的磁場方向；
（2）若離子從C板出發(fā)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又恰能回到C板出發(fā)點(diǎn)，求離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）若改變正方形框內(nèi)的磁感強(qiáng)度變化率k，離子可從距D板小孔為2d的點(diǎn)穿過E邊界離開磁場，求正方形框內(nèi)磁感強(qiáng)度的變化率k是多少？

Answer 1

分析 本題（1）的關(guān)鍵是根據(jù)楞次定律即可求解；題（2）的關(guān)鍵是畫出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，找出圓心，根據(jù)幾何知識(shí)可求出三個(gè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求解；題（3）的關(guān)鍵是先根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場變化率K，然后畫出離子從距D板小孔為2d的點(diǎn)穿過E邊界離開磁場時(shí)存在兩種情況的軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)求出圓的半徑，代入即可求解．

解答 解：（1）金屬板CD之間的電場強(qiáng)度方向由C垂直指向D，正方形線框內(nèi)的磁場方向垂直紙面向里．
（2）離子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，半徑均為R，有：${{qv}_{0}^{\;}B}_{0}^{\;}$=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{R}$…①
運(yùn)動(dòng)周期均為T，有：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}^{\;}}$…②
解①②得：T=$\frac{2πm}{{qB}_{0}^{\;}}$…③
由題意知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（甲），將三個(gè)軌跡的圓心連接起來，由幾何知識(shí)可知，所得三角形為等邊三角形，所以離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=$2•\frac{\frac{π}{3}}{2π}•T$+$\frac{2π-\frac{π}{3}}{2π}•T$=$\frac{T}{3}+\frac{5T}{6}$=$\frac{7T}{6}$…④
解③④得：t=$\frac{7πm}{3q{B}_{0}^{\;}}$…⑤

（3）單匝圓形線框產(chǎn)生的電動(dòng)勢為U，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：U=$\frac{S△B}{△t}$=K${πd}_{\;}^{2}$…⑥
離子從D板小孔射出速度為V，有動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}{mv}_{\;}^{2}$…⑦
解①⑥⑦得：K=$\frac{{{qB}_{0}^{2}}_{\;}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{2π{md}_{\;}^{2}}$…⑧
離子進(jìn)入磁場從E邊界射出的運(yùn)動(dòng)軌跡有兩種情況：
（Ⅰ）如果離子從小孔下面離開磁場，運(yùn)動(dòng)軌跡與F相切，如圖（乙）所示
由幾何關(guān)系知：R=d…⑨
解⑧⑨得：K=$\frac{{{qB}_{0}^{2}}_{\;}^{\;}}{2πm}$…⑩
（Ⅱ）如果離子從小孔上面離開磁場，如圖（乙）所示
由幾何關(guān)系知：$（R+d）_{\;}^{2}+（2d）_{\;}^{2}=（2R）_{\;}^{2}$…（11）
解⑧（11）得：K=$\frac{25{qB}_{0}^{2}}{18πm}$…（12）
答：（1）金屬板CD之間的電場強(qiáng)度方向由C垂直指向D，圓形線框內(nèi)的磁場方向垂直紙面向里；
（2）離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=$\frac{7πm}{3q{B}_{0}^{\;}}$；
（3）圓形框內(nèi)磁感強(qiáng)度的變化率k是$\frac{{{qB}_{0}^{2}}_{\;}^{\;}}{2πm}$或$\frac{25{qB}_{0}^{2}}{18πm}$

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)，遇到帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，一般思路是“畫軌跡、定圓心、求半徑和圓心角，然后求解”．