Question

2．如圖（a）所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)有一 個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為圓心，半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿X軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后恰能從M點(diǎn)進(jìn)人圓形區(qū)域，速度方向與X軸夾角為30°，此時(shí)圓形區(qū)域加如圖（b）所示周期 性變化的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)從t=0時(shí)刻開始變化，且以垂直于紙面向外為正方向），電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后最后從N點(diǎn)飛出，速度方向與X軸夾角也為30°．求：

（1）電子進(jìn)人圓形區(qū)域時(shí)的速度大小；
（2）在0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大�。�
（3）圓形區(qū)域磁場(chǎng)的變化周期T、磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的表達(dá)式．

Answer 1

分析 電子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)．將速度分解，可求出電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大�。�
根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合牛頓定律求出場(chǎng)強(qiáng)E的大�。�
電子在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．分析電子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同條件，根據(jù)圓的對(duì)稱性，由幾何知識(shí)得到半徑，周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

解答 解：（1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)時(shí)，
由速度關(guān)系：$\frac{{v}_{0}}{v}=cos30°$，
解得v=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$．
（2）由速度關(guān)系得，${v}_{y}={v}_{0}tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，
在豎直方向，a=$\frac{eE}{m}$，${v}_{y}=at=\frac{eE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$，
解得$E=\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（3）在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，電子的偏轉(zhuǎn)角為60°，如圖所示，電子在x軸方向上的位移等于R，電子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的條件是：$\overline{MN}=nR=2L$，
電子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3e{B}_{0}}$，
解得${B}_{0}=\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，（n=1，2，3，…）
若電子在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過$\frac{1}{6}$圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動(dòng)時(shí)間是磁場(chǎng)變化半周期的整數(shù)倍，可使電子到達(dá)N點(diǎn)并且速度滿足題設(shè)要求，則：
$\frac{T}{2}=\frac{{T}_{圓}}{6}$，T=$\frac{1}{3}{T}_{圓}=\frac{2πm}{3e{B}_{0}}$，
代入B₀的表達(dá)式得，T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1，2，3…）
答：（1）電子進(jìn)人圓形區(qū)域時(shí)的速度大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$；
（2）在0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$；
（3）圓形區(qū)域磁場(chǎng)的變化周期T、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的表達(dá)式分別為T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1，2，3…）、${B}_{0}=\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分別采用不同的方法：電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)處理的基本方法是畫軌跡．所加磁場(chǎng)周期性變化時(shí)，要研究規(guī)律，得到通項(xiàng)．