Question

2．如圖（a）所示，在直角坐標系0≤x≤L區(qū)域內有沿y軸正方向的勻強電場，右側有一 個以點（3L，0）為圓心，半徑為L的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點分別為M、N．現(xiàn)有一質量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點以速度v₀沿X軸正方向射入電場，飛出電場后恰能從M點進人圓形區(qū)域，速度方向與X軸夾角為30°，此時圓形區(qū)域加如圖（b）所示周期 性變化的磁場（磁場從t=0時刻開始變化，且以垂直于紙面向外為正方向），電子運動一段時間后最后從N點飛出，速度方向與X軸夾角也為30°．求：

（1）電子進人圓形區(qū)域時的速度大��；
（2）在0≤x≤L區(qū)域內勻強電場的場強大�。�
（3）圓形區(qū)域磁場的變化周期T、磁感應強度B0的表達式．

Answer 1

分析 電子在電場中只受電場力，做類平拋運動．將速度分解，可求出電子進入圓形磁場區(qū)域時的速度大�。�
根據(jù)類平拋運動的規(guī)律，結合牛頓定律求出場強E的大小．
電子在磁場中，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動．分析電子進入磁場的速度方向與進入磁場時的速度方向相同條件，根據(jù)圓的對稱性，由幾何知識得到半徑，周期T各應滿足的表達式．

解答 解：（1）電子在電場中作類平拋運動，離開電場時，
由速度關系：$\frac{{v}_{0}}{v}=cos30°$，
解得v=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$．
（2）由速度關系得，${v}_{y}={v}_{0}tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，
在豎直方向，a=$\frac{eE}{m}$，${v}_{y}=at=\frac{eE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$，
解得$E=\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（3）在磁場變化的半個周期內，電子的偏轉角為60°，如圖所示，電子在x軸方向上的位移等于R，電子到達N點而且速度符合要求的條件是：$\overline{MN}=nR=2L$，
電子在磁場做圓周運動的軌道半徑R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3e{B}_{0}}$，
解得${B}_{0}=\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，（n=1，2，3，…）
若電子在磁場變化的半個周期恰好轉過$\frac{1}{6}$圓周，同時MN間運動時間是磁場變化半周期的整數(shù)倍，可使電子到達N點并且速度滿足題設要求，則：
$\frac{T}{2}=\frac{{T}_{圓}}{6}$，T=$\frac{1}{3}{T}_{圓}=\frac{2πm}{3e{B}_{0}}$，
代入B₀的表達式得，T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1，2，3…）
答：（1）電子進人圓形區(qū)域時的速度大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$；
（2）在0≤x≤L區(qū)域內勻強電場的場強大小為$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$；
（3）圓形區(qū)域磁場的變化周期T、磁感應強度B₀的表達式分別為T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$，（n=1，2，3…）、${B}_{0}=\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，（n=1，2，3，…）．

點評 本題帶電粒子在組合場中運動，分別采用不同的方法：電場中運用運動的合成和分解，磁場中圓周運動處理的基本方法是畫軌跡．所加磁場周期性變化時，要研究規(guī)律，得到通項．