Question

5．離水平地面高度為H處有一小球A，在A的右方，與它的水平距離為s處的地面上，有另一小球B，如圖所示，今同時(shí)把兩球拋出，A的初速度v_A沿水平向右，B的初速度v_B豎直向上，設(shè)H、s是已知的，試求：
（1）要想使兩球空中相碰，v_A、v_B應(yīng)滿足什么條件？
（2）若從拋出到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間最長(zhǎng)．則B的路程是多少？
（3）若要求B上升過(guò)程與A相撞，v_B應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）在A球水平分位移為s時(shí)刻，B球不能落回拋出點(diǎn)；兩個(gè)球豎直方向的分位移之和等于H；
（2）在B球拋出點(diǎn)相碰，經(jīng)歷的時(shí)間是最長(zhǎng)的，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解即可；
（3）若要求B上升過(guò)程與A相撞，則相遇時(shí)，B的速度仍然向上，或恰好等于0．

解答 解：（1）設(shè)A球從拋出至落地的時(shí)間為t₁，則：
H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$        ①
在t₁時(shí)間內(nèi)，A球在水平方向運(yùn)動(dòng)的路程不能小于s，否則不可能與B球相碰，故有：
v_At₁≥s        ②
由①、②兩式得v_A應(yīng)滿足的條件：
v_A≥s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$　　　③
拋出后經(jīng)時(shí)間t，B球上升到離地面的高度為h_B處，則：
h_B=v_Bt-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$�、�
這時(shí)A球離地面的高度h_A為：
h_A=H-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  　⑤
若B球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與A球相碰，則應(yīng)滿足：
h_A=h_B       ⑥
s=v_At        ⑦
由④、⑤、⑥式可得：
H=v_Bt        ⑧
聯(lián)立⑦、⑧兩式得：
v_B=$\frac{H}{S}{v}_{A}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$ ⑨
故③式和⑨式即為使兩球空中相碰，v_A、v_B各應(yīng)滿足的條件；
（2）如果要使B球在拋出后經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間才相碰，由⑧式知t=$\frac{H}{{v}_{B}}$，即v_B要較小，但碰撞必須發(fā)生在A球落地之前，故經(jīng)歷最長(zhǎng)的時(shí)間即為A球從拋出至落地的時(shí)間t₁，由①式和⑧式可得出，v_B的最小值為：
v_B=$\frac{H}{{t}_{1}}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$　   
B球上升的最大高度為：
h_m=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2g}$=$\frac{1}{4}H$
則B球從拋出到碰撞時(shí)刻經(jīng)過(guò)的總路程為：
s_B=2h_m=$\frac{1}{2}H$
（3）若要求B上升過(guò)程與A相撞，則相遇時(shí)，B的速度需滿足：聯(lián)立
v_B-gt≥0  ⑩
聯(lián)立⑨⑩得：${v}_{B}≥\sqrt{gH}$
答：（1）要想使兩球空中相碰，需要滿足v_A≥s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$和v_B=$\frac{H}{S}{v}_{A}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$；
（2）若從拋出到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間為最長(zhǎng)，則B球運(yùn)動(dòng)的路程是$\frac{H}{2}$；
（3）若要求B上升過(guò)程與A相撞，v_B應(yīng)滿足${v}_{B}≥\sqrt{gH}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住豎直位移大小之和等于H，以及時(shí)間相等兩個(gè)條件進(jìn)行求解．