Question

14．如圖所示平面直角坐標(biāo)系xoy，P點在x軸上，OP距離為L，Q點在y軸負(fù)方向上某處；在第一象限有平行y軸的勻強電場，第二象限內(nèi)有一圓形區(qū)域與x軸相切于A點，圓形區(qū)域的半徑為L，在第四象限未知的矩形區(qū)域（圖中未畫出），圓形區(qū)域和矩形區(qū)域有相同的勻強磁場，磁場垂直于xoy平面（圖中未畫出），電荷量為+q，質(zhì)量為m、速度大小v₀的粒子a從A點與x軸成60⁰角進入圓形磁場，出磁場后垂直y軸經(jīng)C點進入電場，再從P點出射；質(zhì)量為m、電荷量為-q、速率為$\sqrt{2}$v₀的粒子b，從Q點向與y軸成45^°角方向發(fā)射，經(jīng)過并離開矩形磁場區(qū)域后與P點出射的粒子a相碰，相碰時粒子速度方向相反，不計粒子重力和粒子間相互作用力，求：

（1）圓形區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強度大小和方向；
（2）第一象限的電場強度大�。�
（3）矩形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）正粒子在磁場中做勻速圓周運動，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強度；
（2）粒子在電場中做類似平拋運動，根據(jù)類似平拋運動的分位移公式列式求解即可；
（3）在矩形區(qū)域中運動的粒子的速度偏轉(zhuǎn)角度為90°，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系確定最小磁場面積．

解答 解：（1）粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系得：r=L，
粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）粒子從C到P過程是類似平拋運動，根據(jù)分運動公式，有：
2L=v₀t，$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$at²，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（3）帶負(fù)電荷的粒子在磁場中做勻速圓周運動，經(jīng)過矩形區(qū)域后速度偏轉(zhuǎn)角為90°，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
粒子運動軌跡如圖所示：

磁場區(qū)域?qū)��?yīng)的最小寬度：b=R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=（$\sqrt{2}$-1）L，
磁場區(qū)域?qū)��?yīng)的最小長度：a=$\sqrt{2}$R=2L，
故最小面積為：S=ab=2（$\sqrt{2}$-1）L²；
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場感應(yīng)強度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）第一象限內(nèi)勻強電場的場強大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（3）矩形區(qū)域的最小面積為2（$\sqrt{2}$-1）L²．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運動規(guī)律、畫出運動軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、類似平拋運動的分位移公式和幾何關(guān)系列式求解；
帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動解題一般程序是
  1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
  2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運動時間相聯(lián)系，時間與周期聯(lián)系．
  3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律．