Question

8．已知引力常量為G，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，近地衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T，地球的第一宇宙速度為v，則地球的平均密度可表示為（　　）

• A． $ρ=\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• B． $ρ=\frac{{3{v^2}}}{4πRG}$
• C． $ρ=\frac{3g}{4πRG}$
• D． $ρ=\frac{{3{v^2}}}{{4π{R^2}G}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合周期或第一宇宙速度可以求出地球的質(zhì)量，從而得出地球的平均密度．根據(jù)萬有引力等于重力可以求出地球的質(zhì)量，從而求出地球的密度．

解答 解：根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得地球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，則地球的平均密度為：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故A正確．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{{v}^{2}R}{G}$，則地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{v}^{2}R}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3{v}^{2}}{4πG{R}^{2}}$，故D正確，B錯誤．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πRG}$，故C正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．