Question

13．如圖所示，一小船停于河中，河岸高出水面h，船上的人以已勻速率v₀收繩，寫出小船運動的微分方程，并分析船向岸邊靠攏的加速度α隨角度θ的變化規(guī)律．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系得出船到河岸距離與高度和繩長的關(guān)系，對x進行求導(dǎo)，得出小船運動的微分方程．對船速度進行求導(dǎo)，得出加速度隨角度θ的變化規(guī)律．

解答 解：設(shè)船到岸的水平距離為x，根據(jù)幾何關(guān)系有：x²+h²=l²，
船上的人以已勻速率v₀收繩，有$\frac{dl}{dt}=-{v}_{0}$，
可得$2x\frac{dx}{dt}=-2l{v}_{0}$，
小船運動的微分方程為：$x\frac{dx}{dt}+（\frac{dx}{dt}）^{2}-{{v}_{0}}^{2}=0$．
船向岸邊靠攏的加速度α=$\frac{dv}{dt}=\frac316hlm8{dt}（\frac{{v}_{0}}{cosθ}）=\frac{{v}_{0}sinθ}{co{s}^{2}θ}θ$．
${v}_{0}=-\frac{dl}{dt}=-\fracjpvdhn8{dt}（\frac{h}{sinθ}）=\frac{hcosθ}{si{n}^{2}θ}θ$．
將上面式子聯(lián)立可得a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}ta{n}^{3}θ$．
答：小船運動的微分方程為$x\frac{dx}{dt}+（\frac{dx}{dt}）^{2}-{{v}_{0}}^{2}=0$．船向岸邊靠攏的加速度α隨角度θ的變化規(guī)律為a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}ta{n}^{3}θ$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道位移對時間的導(dǎo)數(shù)表示速度，速度對時間的導(dǎo)數(shù)表示加速度，求解加速度時注意對船的速度進行求導(dǎo)，不是對沿繩子方向的速度進行求導(dǎo)．