Question

12．兩個(gè)小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)．在它們左邊有一垂直軌道的固定檔板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v₀射向B球，如圖所示，C與B發(fā)生碰撞并立即結(jié)成一個(gè)整體D．在它們繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度變到最短時(shí)，長(zhǎng)度突然被鎖定，不再改變．然后，A球與檔板P發(fā)生碰撞，碰后A、D靜止不動(dòng)，A與P接觸而不粘連．過(guò)一段時(shí)間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無(wú)機(jī)械能損失），已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m．
（1）求彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度．
（2）求在A球離開(kāi)檔板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）C球與B球粘連成D時(shí)由動(dòng)量守恒定律列出等式，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，D與A的速度相等由動(dòng)量守恒定律解答．
（2）彈簧長(zhǎng)度被鎖定后由能量守恒列出等式，解除鎖定后，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)自然長(zhǎng)度時(shí)，勢(shì)能全部轉(zhuǎn)變成D的動(dòng)能由能量守恒和動(dòng)量守恒定律列出等式求解．

解答 解：（1）設(shè)C球與B球粘連成D時(shí)，D的速度為v₁，以向左為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（m+m）v₁ ①
當(dāng)彈簧壓至最短時(shí)，D與A的速度相等，高此速度為v₂，
以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：2mv₁=3mv₂ ②
由①、②兩式得A的速度：v₂=$\frac{1}{3}$v₀   ③
（2）設(shè)彈簧長(zhǎng)度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢(shì)能為E，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$•2mv₁²=$\frac{1}{2}$•3mv₂²+E_P ④
撞擊P后，A與D的動(dòng)能都為零，解除鎖定，當(dāng)彈簧剛恢復(fù)到自然長(zhǎng)度時(shí)，
勢(shì)能全部轉(zhuǎn)變成D的動(dòng)能，設(shè)D的速度為v₃，則有：E_P=$\frac{1}{2}$•2mv₃²     ⑤
以后彈簧伸長(zhǎng)，A球離開(kāi)擋板P，并獲得速度，當(dāng)A、D的速度相等時(shí)，
彈簧伸至最長(zhǎng)，設(shè)此時(shí)的速度為v₄，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：2mv₃=3mv₄ ⑥
當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其勢(shì)能最大，設(shè)此勢(shì)能為：E_P′，
$\frac{1}{2}$•2mv₃²=$\frac{1}{2}$•3mv₄²+E_P′，解得：E_P′=$\frac{1}{36}$mv₀²；
答：（1）彈簧長(zhǎng)度剛被鎖定后A球的速度為$\frac{1}{3}$v₀．
（2）在A球離開(kāi)檔板P之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為$\frac{1}{36}$mv₀²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律及能量守恒定律的應(yīng)用，關(guān)鍵要知道當(dāng)彈簧伸到最長(zhǎng)時(shí)，其勢(shì)能最大．