Question

8．如圖所示，在x-o-y坐標(biāo)系中，以（r，0）為圓心、r為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里．在y＞r的足夠大的區(qū)域內(nèi)，存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．從O點(diǎn)以相同速率向不同方向發(fā)射質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)，且質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑也為r．已知質(zhì)子的電荷量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)質(zhì)子所受重力及質(zhì)子間相互作用力的影響．
（1）求質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）若質(zhì)子沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，求質(zhì)子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）若質(zhì)子沿與x軸正方向成夾角θ的方向從O點(diǎn)射入第一象限的磁場(chǎng)中，求質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)靠洛倫茲力提供向心力，通過(guò)軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子射入磁場(chǎng)的速度．
（2）粒子沿x軸正向射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$個(gè)圓周后，以速度v逆著電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，原路徑返回后，再射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$個(gè)圓周后離開磁場(chǎng)．求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，從而求出粒子磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出最終的總時(shí)間．
（3）結(jié)合作圖，找出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求解出時(shí)間

解答 解：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\frac{qBr}{m}$；
（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$個(gè)圓周后，以速度υ逆著電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，原路徑返回后，再射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$個(gè)圓周后離開磁場(chǎng)．
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$，
進(jìn)入電場(chǎng)后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大�。篴=$\frac{qE}{m}$，
質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{2v}{a}$=$\frac{2Br}{E}$，
所求時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{qB}$+$\frac{2Br}{E}$；
（3）當(dāng)質(zhì)子沿與x軸正方向成夾角θ的方向從第一象限射入磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)質(zhì)子將從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，如圖所示：
其中O₁、O₂分別為磁場(chǎng)區(qū)域圓和質(zhì)子軌跡圓的圓心．
由于軌跡圓的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域圓的半徑，所以O(shè)O₁AO₂為菱形，即AO₂平行x軸，說(shuō)明質(zhì)子以平行y軸的速度離開磁場(chǎng)，也以沿y軸負(fù)方向的速度再次進(jìn)入磁場(chǎng)，有：
∠O₂=90°-θ．
所以，質(zhì)子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁′=$\frac{90°-θ}{360°}$T，
此后質(zhì)子軌跡圓的半徑依然等于磁場(chǎng)區(qū)域圓的半徑，設(shè)質(zhì)子將從C點(diǎn)再次射出磁場(chǎng)．
如圖所示，其中O₁、O₃分別為磁場(chǎng)區(qū)域圓和質(zhì)子軌跡圓的圓心，AO₃平行x軸．
由于O₁AO₃C為菱形，即CO₁平行AO₃，即平行x軸，說(shuō)明C就是磁場(chǎng)區(qū)域圓與x軸的交點(diǎn)．
這個(gè)結(jié)論與θ無(wú)關(guān)．所以，OO₂O₃C為平行四邊形，∠O₃=90°+θ
質(zhì)子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂′=$\frac{90°+θ}{360°}$T，
質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t′=t₁′+t₂′=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$；
答：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為$\frac{qBr}{m}$；
（2）若質(zhì)子沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，質(zhì)子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$+$\frac{2Br}{E}$；
（3）若質(zhì)子沿與x軸正方向成夾角θ的方向從O點(diǎn)射入第一象限的磁場(chǎng)中，質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)速度方向與電場(chǎng)方向平行，先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，返回做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．