Question

5．據(jù)報(bào)道，目前我國(guó)正在研制“螢火二號(hào)”火星探測(cè)器．探測(cè)器升空后，先在近地軌道上以線速度v環(huán)繞地球飛行，再調(diào)整速度進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，最后再一次調(diào)整速度以線速度v′在火星表面附近環(huán)繞飛行，若認(rèn)為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，設(shè)火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． g′：g=4：1
• B． g′：g=10：7
• C． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
• D． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{14}}$

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系，代入化簡(jiǎn)可得出重力加速度與密度和半徑的關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算重力加速度之比．
根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$和M=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$化簡(jiǎn)解出速度的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)可得速度之比．

解答 解：AB、在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
所以$g=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}πGρR$
所以$\frac{g′}{g}=\frac{ρ′}{ρ}•\frac{R′}{R}=\frac{5}{7}×\frac{1}{2}=\frac{5}{14}$，故AB錯(cuò)誤．
CD、探測(cè)器繞地球表面運(yùn)行和繞月球表面運(yùn)行都是由萬有引力充當(dāng)向心力，
根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ①，M為中心體質(zhì)量，R為中心體半徑．
M=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$  ②
由①②得：v=$\sqrt{\frac{4πGρ{R}^{2}}{3}}$
已知地球和火星的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，
所以探測(cè)器繞地球表面運(yùn)行和繞月球表面運(yùn)行線速度大小之比為：$\frac{v′}{v}=\sqrt{（{\frac{R′}{R}）}^{2}\frac{ρ′}{ρ}}=\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{5}{7}}=\sqrt{\frac{5}{28}}$
故C正確、D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌重力等于萬有引力這個(gè)關(guān)系，求一個(gè)物理量，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行比較求解．