Question

15．如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中，有兩條足夠長的平行金屬導軌，其電阻不計，間距為L，導軌平面與磁場方向垂直．ab、cd為兩根垂直導軌放置的、電阻都為R、質量都為m的金屬棒．棒cd用能承受最大拉力為T₀的水平細線拉住，棒cd與導軌間的最大靜摩擦力為f，假設最大靜摩擦力剛好等于滑動摩擦力．棒ab與導軌間的摩擦不計，在水平拉力F的作用下以加速度a由靜止開始向右做勻加速直線運動，求：
（1）線斷以前水平拉力F隨時間t的變化規(guī)律；
（2）經多長時間細線將被拉斷．
（3）細線拉斷瞬間，水平拉力F立即改作用在cd棒上且變?yōu)槎啻�，才可以使兩桿穩(wěn)定時共同勻速．勻速速度大小為多大？

Answer 1

分析 （1）對ab棒，由E=BLv，v=at、I=$\frac{E}{2R}$和安培力公式F=BIL推導出安培力的表達式，根據牛頓第二定律列式，得到F與t的變化規(guī)律；
（2）當細線所受的拉力達到最大值T時將被拉斷，此時拉力恰好與所受的安培力大小相等．即可求出此細線所能承受的最大拉力T；
（3）拉力F撤去，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，遵守動量守恒．當兩棒的速度相同時，此共同速度就是cd棒的最大速度．根據動量守恒定律求解．

解答 解：（1）在時刻t，棒的速度：v=at
棒中感應電動勢為：E=BLv=BLat
棒中的感應電流為：I=$\frac{BLat}{2R}$
由牛頓第二定律：F-BIL=ma
得：F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$
（2）細線拉斷時滿足
BIL=f+T₀
$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t=f$+T₀
t=$\frac{{2R（{f+{T_0}}）}}{{{B^2}{L^2}a}}$
（3）對兩桿看成一個系統(tǒng)，合外力為0系統(tǒng)動量守恒，穩(wěn)定時速度相同，所以F=f．
由動量守恒得：mv=2mv₁
解得：${v_1}=\frac{1}{2}v$
又因為$v=at=\frac{{2R（f+{T_0}）}}{{{B^2}{L^2}}}$
解得：${v_1}=\frac{{R（f+{T_0}）}}{{{B^2}{L^2}}}$
答：（1）線斷以前水平拉力F隨時間t的變化規(guī)律F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$；
（2）經$\frac{{2R（{f+{T_0}}）}}{{{B^2}{L^2}a}}$時間細線將被拉斷．
（3）細線拉斷瞬間，水平拉力F立即改作用在cd棒上且變?yōu)槎啻�，才可以使兩桿穩(wěn)定時共同勻速．勻速速度大小為$\frac{R（f+{T}_{0}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 本題是雙桿模型，當cd棒不動時，只有ab棒切割磁感線產生感應電動勢，關鍵要會推導安培力的表達式．當兩棒都運動時，要把握住基本規(guī)律是：系統(tǒng)的動量守恒．