Question

2．一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m=$\frac{1}{20}$kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L=0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個光滑的斜面和一個擋板，如圖所示，水平面長s=2m，動摩擦因數(shù)為μ=0.25．現(xiàn)有一滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，每次與小球碰撞時相互交換速度，且與擋板碰撞時不損失機(jī)械能．若不計空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²，（斜面底端和水平面光滑連接）．試問：
（1）若滑塊B從斜面上高度h=3.2m處滑下，要保證運(yùn)動過程中繩子不會斷，繩子的最大承受拉力至少應(yīng)為多大？
（2）若滑塊B從斜面上高度h′處滑下與小球第一次碰后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，求此高度h′．
（3）若滑塊B從H=2.8m 處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，求小球做完整圓周運(yùn)動的次數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出滑塊與小球碰撞前的速度，然后求出碰撞后小球的速度，然后由牛頓第二定律求出繩子的拉力．
（2）小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，說明此時只有重力作為向心力，再根據(jù)小球做圓周運(yùn)動的過程中機(jī)械能守恒，列出方程可以求得滑塊的高度；
（2）每次碰撞沒有能量損失，只是在水平面上運(yùn)動時克服摩擦力做功，小球的速度也是一次次的減小，最小的時候應(yīng)該是恰好能做圓周運(yùn)動，根據(jù)動能定理可以求得總的路程和碰撞的次數(shù)．

解答 解：（1）滑塊B從h=3.2m處滑下到與小球碰撞過程中，
由牛頓第二定律得：mgh-μmg$\frac{s}{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁²，
由題意可知，滑塊與小球碰撞后交換速度，則碰后小球為v₁，
碰撞后小球做圓周運(yùn)動，在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$，解得：F=48N；
（2）小球剛能完成一次完整的圓周運(yùn)動，它到最高點(diǎn)的速度為v₀，
在最高點(diǎn)，僅有重力充當(dāng)向心力，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$  ①，
在小球h處運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：mg（h′-2L）-μmg$\frac{s}{2}$=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：h′=0.5m；
（3）滑塊和小球第一次碰撞后的能量為E₁，
則：E₁=mgH-μmg$\frac{s}{2}$，
滑塊和小球第一次碰撞后，每在平面上經(jīng)s路程后再次碰撞，
設(shè)能完成n次完整的圓周運(yùn)動，
則：E₁-（n-1）μmgs=$\frac{1}{2}$mv₀²+2mgL，
解得：n=9.8，
則能完成9次完整的圓周運(yùn)動；
答：（1）繩子的最大承受拉力至少應(yīng)48N；
（2）能使小球恰好在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動的高度為0.5m；
（3）小球做9次完整的圓周．

點(diǎn)評 本題物體的運(yùn)動過程好像是挺復(fù)雜，但是每次碰撞只是由于克服摩擦力做功而減小了能量，當(dāng)減到最小時小球應(yīng)該恰好能做圓周運(yùn)動，找到能量損失的原因，利用動能定理就可以求出了，本題很好的考查了學(xué)生的分析理解能力，是道好題．