Question

9．如圖所示，固定于同一條豎直線上的A、B是兩個等量異種電荷的點電荷，電荷電量均為Q，其中A帶正電荷，B帶負電荷，D、C是它們連線的垂直平分線，A、B、C三點構成一邊長為d的等邊三角形，另有一個帶電小球P，質量為m、電荷量為+q（可視為質點），被長為L的絕緣輕質細線懸掛于O點，O點在C點正上方．現在把小球P拉到M點，使細線水平繃直且與A、B、C處于同一豎直面內，并由靜止開始釋放，小球P向下運動到最低點C時，速度為v，已知靜電力常量為k，若取D點的電勢為零，重力加速度為g，試求：
（1）在A、B所形成的電場中，MC兩點間的電勢差U_MC；
（2）M點的電勢ϕ_M；
（3）絕緣細線在C點所受到的拉力F_T．

Answer 1

分析 （1）小球P從M運動到C的過程中，重力做正功，電場力做負功，電場力做功為qU_MC，根據動能定理求解M、C兩點的電勢差U_MC；
（2）根據DC所在直線是等量異種電荷的一根等勢線，D、C兩點的電勢相等，即可求得M點的電勢ϕ_M；
（3）小球到達N點時速度為零，圓周運動的向心力為零，即小球在N點沿細線方向合力為零，由此即可列式求解細線對小球的拉力F_T．

解答 解：（1）小球P從M點→C點，由動能定理得：
  $mgL+q{U_{MC}}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得 ${U_{MC}}=\frac{{m{v^2}}}{2q}-\frac{mgL}{q}$
（2）DC所在直線是等量異種電荷的一根等勢線，D、C兩點的電勢相等，則C點的電勢為 ϕ_C=ϕ_D=0
因為U_MC=ϕ_M-ϕ_C，則得 ϕ_M=${U_{MC}}=\frac{{m{v^2}}}{2q}-\frac{mgL}{q}$
（3）小球在C點受力如下圖．

由幾何知識得 θ=60°
由庫侖定律有：${F_1}={F_2}=k\frac{Qq}{d^2}$
在C點，由牛頓第二定律得：${F_T}-mg-2{F_1}cosθ=m\frac{v^2}{L}$
則得 ${F_T}=mg+m\frac{v^2}{L}+\frac{kQq}{d^2}$（方向豎直向上）
答：
（1）在A、B所形成的電場中，MC兩點間的電勢差U_MC是$\frac{m{v}^{2}}{2q}$-$\frac{mqL}{q}$．
（2）M點的電勢ϕ_M是$\frac{m{v}^{2}}{2q}$-$\frac{mqL}{q}$．
（3）絕緣細線在C點所受到的拉力F_T是mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$+$\frac{kQq}{feirvox^{2}}$．

點評 本題考查電場中力與能的性質，要注意小球在拉力、重力及庫侖力的作用下做圓周運動，應明確合力充當了向心力．