Question

太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)．它們運(yùn)行的原理可以理解為，質(zhì)量為M的恒星和質(zhì)量為m的行星（M大于m），在它們之間的萬有引力作用下有規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著．如圖所示，我們可認(rèn)為行星在以某一定點(diǎn)c為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（圖中沒有表示出恒星）．設(shè)萬有引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計(jì)．
（1）試在圖中粗略畫出恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置；
（2）試計(jì)算恒星與點(diǎn)c間的距離和恒星的運(yùn)行速率v．

Answer 1

（1）兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故兩恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如圖：
（2）對(duì)行星m，F(xiàn)=mω²R_m----------①
對(duì)恒星M，F(xiàn)′=mω²R_M------------②
根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)與F′大小相等
由①②得RM=

m

M

Rm=

m

M

a
對(duì)恒星M，G

Mm

(Rm+RM)2

=M

v2

RM

代入數(shù)據(jù)解得：v=

m

m+M

GM a

答：（1）恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如上圖．
（2）恒星與點(diǎn)c間的距離為

m

M

a，恒星的運(yùn)行速率為

m

m+M

GM a

．