Question

真空中有一半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面向里，ox為磁場邊界上的切線，如圖所示．從o點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為v₀的帶負(fù)電的粒子，設(shè)帶電粒子間相互作用可忽略，且此種帶負(fù)電的粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也是r．
（1）所有從磁場邊界射出的帶負(fù)電的粒子，速度方向有何特征？請通過幾何關(guān)系來說明此種帶負(fù)電粒子的速度方向特征．
（2）速度方向分別與ox軸正方向成60°與90°的帶負(fù)電粒子，在磁場中的運(yùn)動時(shí)間分別是多少？
（3）已知電子的質(zhì)量為m，電量為e．今在某一平面內(nèi)有M、N兩點(diǎn)，MN=l，從M點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為v₀的電子，請?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一個(gè)勻強(qiáng)磁場分布，使得由M點(diǎn)發(fā)出的電子都能夠匯聚到N點(diǎn)（要求在圖中畫出磁場的范圍），并求出勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值．

Answer 1

分析：（1）分析粒子的運(yùn)動情景，由幾何關(guān)系可得出粒子的速度方向特征；
（2）由（1）的分析，利用幾何關(guān)系可得出兩種粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由幾何關(guān)系可分析磁場的分布范圍．

解答：解：（1）如圖所示，入射時(shí)電子速度與x夾角為θ，無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，由入射點(diǎn)O、射出點(diǎn)A、磁場圓心O₁和軌道圓心O₂一定組成邊長r的菱形，因O₁O⊥OX，OO₂垂直于入射速度，故∠OO₂A=θ，即電子在磁場中所偏轉(zhuǎn)的角度一定等于入射時(shí)電子速度與Ox軸的夾角．
當(dāng)θ=60°時(shí)，t₁=

π

6

=

πr

3v

當(dāng)θ=90°時(shí)，t₂=

π

4

=

πr

2v

（2）因∠OO₂A=θ，故O₁A⊥OX，而O₂A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場時(shí)，速度方向均與Ox軸相同．
（3）上述的粒子路徑是可逆的，（2）中從圓形磁場射出的這些速度相同的電子再進(jìn)入一相同的勻強(qiáng)磁場后，一定會聚集于同一點(diǎn)．磁場的分布如圖所示，對于從M點(diǎn)向MN連線上方運(yùn)動的電子，兩磁場分別與MN相切，M、N為切點(diǎn)，且平行于兩磁場邊界圓心的連線O₁O₂．
設(shè)MN間的距離為l，所加的磁場的邊界所對應(yīng)圓的半徑r，故應(yīng)有2r≤l，即2

mv

eB

≤l，所以所加磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足B≥

2mv

el

．
同理，對于從M點(diǎn)向MN連線下方運(yùn)動的電子，只要使半徑相同的兩圓形磁場與上方的兩圓形磁場位置關(guān)于MN對稱且磁場方向與之相反即可說明：只要在矩形區(qū)域M₁N₁N₂M₂內(nèi)除圖中4個(gè)半圓形磁場外無其他磁場，矩形M₁N₁N₂M₂區(qū)域外的磁場均可向其余區(qū)域擴(kuò)展．

點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，重點(diǎn)要把握好“找圓心、求半徑”，注意畫出草圖，同時(shí)利用好幾何關(guān)系去分析粒子的運(yùn)動過程．