Question

11．一般來說，正常人從距地面1.5m高處跳下，落地時(shí)速度較小，經(jīng)過腿部的緩沖，這個(gè)速度對人是安全的，稱為安全著地速度．如果人從高空跳下，必須使用降落傘才能安全著陸，其原因是，張開的降落傘受到空氣對傘向上的阻力作用．經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)和理論研究表明，空氣對降落傘的阻力f與空氣密度ρ、降落傘的迎風(fēng)面積S、降落傘相對空氣速度v、阻力系數(shù)c有關(guān)（由傘的形狀、結(jié)構(gòu)、材料等決定），其表達(dá)式是f=$\frac{1}{2}$cρSv²．根據(jù)以上信息，解決下列問題．（取g=10m/s²）
（1）在忽略空氣阻力的情況下，計(jì)算人從1.5m高處跳下著地時(shí)的速度大�。ㄓ�(jì)算時(shí)人可視為質(zhì)點(diǎn)）（結(jié)果可用根式表示）
（2）在某次高塔跳傘訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員使用的是有排氣孔的降落傘，其阻力系數(shù)c=0.90，空氣密度取ρ=1.25kg/m³．降落傘、運(yùn)動(dòng)員總質(zhì)量m=80kg，張開降落傘后達(dá)到勻速下降時(shí)，要求人能安全著地，降落傘的迎風(fēng)面積S至少是多大？
（3）跳傘運(yùn)動(dòng)員和降落傘的總質(zhì)量m=80kg，從跳傘塔上跳下，在下落過程中，經(jīng)歷了張開降落傘前自由下落、張開降落傘后減速下落和勻速下落直至落地三個(gè)階段．如圖是通過固定在跳傘運(yùn)動(dòng)員身上的速度傳感器繪制出的從張開降落傘開始做減速運(yùn)動(dòng)至達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的v-t圖象．根據(jù)圖象估算運(yùn)動(dòng)員做減速運(yùn)動(dòng)的過程中，空氣阻力對降落傘做的功．（（2）（3）均保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）在忽略空氣阻力的情況下，人做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解人著地時(shí)的速度大��；
（2）由（1）求出人安全著陸的速度大小，張開降落傘后達(dá)到勻速下降時(shí)，空氣阻力大小等于運(yùn)動(dòng)員的重力，根據(jù)平衡條件和f=$\frac{1}{2}$cρSv²結(jié)合可求出降落傘的迎風(fēng)面積S；
（3）由v-t圖讀出，降落傘張開時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度大小和運(yùn)動(dòng)員收尾速度大小，由v-t圖線和時(shí)間軸所圍面積求得在0～3s時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落高度，由動(dòng)能定理求解空氣阻力對降落傘做的功．

解答 解：（1）設(shè)人從1.5m高處跳下著地時(shí)的安全速度大小為v₀，則
  v₀²=2gh
得 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.5}$=$\sqrt{30}$m/s≈5.5m/s      
（2）由（1）可知人安全著陸的速度大小為$\sqrt{30}$m/s，跳傘運(yùn)動(dòng)員在空中勻速下降時(shí)空氣阻力大小等于運(yùn)動(dòng)員的重力，則  
  mg=f=$\frac{1}{2}$cρSv²  
解得，降落傘的迎風(fēng)面積S至少是 S=$\frac{2mg}{cρ{v}^{2}}$=$\frac{2×80×10}{0.9×1.25×30}$m²≈47.4m²
（3）設(shè)空氣阻力對降落傘做功為Wf，由v-t圖可知，降落傘張開時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度大小v₁=20m/s，運(yùn)動(dòng)員收尾速度即勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度v₂=5.0m/s，設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度為h，根據(jù)動(dòng)能定理得
   mgh+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$      
解得 W_f=-mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$      
由v-t圖線和時(shí)間軸所圍面積可知，在0～3s時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落高度h=25m，代入數(shù)據(jù)解得：W=-3.5×10⁴J
答：
（1）人從1.5m高處跳下著地時(shí)的速度大小是5.5m/s；
（2）要求人能安全著地，降落傘的迎風(fēng)面積S至少是47.4m²；
（3）運(yùn)動(dòng)員做減速運(yùn)動(dòng)的過程中，空氣阻力對降落傘做的功是-3.5×10⁴J．

點(diǎn)評 本題首先要有耐心讀題，獲取有效信息，其次，通過分析運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程遵守的規(guī)律，實(shí)質(zhì)是運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用．