Question

17．某游樂(lè)場(chǎng)中一種玩具車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況可以簡(jiǎn)化為如下模型：如圖所示，軌道ABCD位于豎直平面內(nèi)，水平軌道AB與半圓弧軌道BC相切于B點(diǎn)；C與圓心O等高；最高點(diǎn)D處有一豎直彈性小擋板（如圖中黑短線所示）；質(zhì)量m=10kg的小車(chē)Q（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在水平軌道上的點(diǎn)A；已知A點(diǎn)與B點(diǎn)相距L=40m（圖中AB之間的虛線表示未畫(huà)完整的水平軌道），豎直圓軌道的半徑R=3m，圓弧光滑；小車(chē)在水平軌道AB間運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為其重力的0.25倍．其它摩擦與空氣阻力均忽略不計(jì)．（g取10m/s²）
（1）若小車(chē)在水平向右的恒力F的作用下由靜止出發(fā)沿軌道AC運(yùn)動(dòng)，恰好能到達(dá)軌道的C點(diǎn)．求：恒力F的大小和此過(guò)程中小車(chē)速度最大時(shí)的位置．
（2）若小車(chē)用自帶的電動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力，電動(dòng)機(jī)輸出功率恒為P=50W，要使小車(chē)不脫離軌道，求發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t需滿足的條件（設(shè)經(jīng)過(guò)所求的時(shí)間，小車(chē)還沒(méi)到B點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）從A到C的過(guò)程中有動(dòng)能定理求的拉力，根據(jù)力的合成與分解即可求得速度最大的位置；
（2）小球不脫離軌道，小車(chē)在圓弧上到達(dá)的最高點(diǎn)在C點(diǎn)之下或小車(chē)能上升到最高點(diǎn)D，碰擋板后再原路返回，由動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)即可求得

解答 解：（1）從A到C由動(dòng)能定理可知F（L+R）-μmgL-mgR=0-0
$F=\frac{μmgL+mgR}{L+R}=\frac{1300}{43}N=2.3N$
當(dāng)在運(yùn)動(dòng)方向上合力為零時(shí)速度最大，在圓弧上的E點(diǎn)，EO與豎直方向的夾角$tanθ=\frac{F}{mg}=\frac{2.3}{100}=\frac{23}{1000}$
（2）設(shè)μ=0.25
不脫離軌道情景一：小車(chē)在圓弧上到達(dá)的最高點(diǎn)在C點(diǎn)之下．
臨界：AC過(guò)程列動(dòng)能定理Pt₁-μmgL-mgR=0-0
得t₁≤26s
此后，再?gòu)腃點(diǎn)返回，在BA段上能通過(guò)的距離為xmgR=μmgx
的x=4R=12m＜L
故不會(huì)從軌道左端滑出   
不脫離軌道情景二：小車(chē)能上升到最高點(diǎn)D，碰擋板后再原路返回．
要到最高點(diǎn)D，需滿足$mg≤m\frac{v_D^2}{R}$
A到D過(guò)程列動(dòng)能定理得$P{t_2}-μmgL-mg2R=\frac{1}{2}mv_D^2$
臨界t₂≥35s
又因?yàn)榉祷睾蟛荒軓淖蠖薃處掉下，工作時(shí)間t₃必須滿足Pt₃≤2μmgL
得t₃≤40s
故：為了使得小車(chē)不脫離軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間必須滿足t₁≤26s或者35s≤t₂≤40s．
答：（1）恒力F的大小為2.3N，此過(guò)程中小車(chē)速度最大時(shí)的位置為在圓弧上與豎直夾角的正切值為$\frac{23}{1000}$．
（2）若小車(chē)用自帶的電動(dòng)機(jī)提供動(dòng)力，電動(dòng)機(jī)輸出功率恒為P=50W，要使小車(chē)不脫離軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t需滿足的條件t₁≤26s或者35s≤t₂≤40s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理，再低二問(wèn)中，抓住沿軌道運(yùn)動(dòng)：不能到達(dá)最高點(diǎn)，在C點(diǎn)下方速度減到零，或者到達(dá)最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，再結(jié)合動(dòng)能定理即可求得