Question

2．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球同步通信衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，均為T（G己知）．
（1）求地球的第一宇宙速度．
（2）求地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根據(jù)萬有引力等于向心力及地球表面重力等于萬有引力，兩方程聯(lián)立解得

解答 解：（1）第一宇宙速度是圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，而在地球表面重力等于萬有引力，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
在地球表面物體重力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$即$GM=g{R}_{\;}^{2}$
$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$．
（2）地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$．

點評 衛(wèi)星所受的萬有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是衛(wèi)星類問題必須要考慮的問題，本題根據(jù)這兩個關(guān)系即可列式求解．