Question

2．已知引力常量G，某恒星半徑R，一個(gè)環(huán)繞此恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星（運(yùn)動(dòng)只受恒星引力影響），距恒星表面的高度是h，行星繞恒星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T₁，行星的自轉(zhuǎn)周期T₂，某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)，由G$\frac{Mm}{{h}^{2}}$=mh$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$得M=$\frac{4{π}^{2}{h}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
（1）請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由，如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果；
（2）恒星演化后期，部分恒星會(huì)因?yàn)閮?nèi)部引力而坍縮成為黑洞，根據(jù)拉普拉斯黑洞理論，黑洞的質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足$\frac{M}{R}$=$\frac{{c}^{2}}{2G}$（其中c為光速，G為引力常量），假設(shè)題目中的恒星質(zhì)量不變，則演化成黑洞的臨界半徑．

Answer 1

分析 （1）行星運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑為R+h，結(jié)合行星繞恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的周期，根據(jù)萬有引力提供向心力求出恒星的質(zhì)量．
（2）根據(jù)黑洞的質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足$\frac{M}{R}$=$\frac{{c}^{2}}{2G}$，結(jié)合恒星的質(zhì)量求出黑洞的臨界半徑．

解答 解：（1）錯(cuò)誤．軌道半徑和周期錯(cuò)誤．
行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力．
$\begin{array}{l}G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{{{T_1}^2}}（R+h）\\ M=\frac{{4{π^2}}}{{G{T_1}^2}}{（R+h）^3}\end{array}$
（2）由題意可知，最小半徑$R=\frac{2GM}{c^2}=\frac{{8{π^2}}}{{{c^2}{T_1}^2}}{（R+h）^3}$．
答：（1）解法錯(cuò)誤，軌道半徑和周期錯(cuò)誤，地球質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}}{G{{T}_{1}}^{2}}（R+h）^{3}$．
（2）演化成黑洞的臨界半徑為$\frac{8{π}^{2}}{{c}^{2}{{T}_{1}}^{2}}（R+h）^{3}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，注意高度和軌道半徑的不同，難度不大．