Question

19．如圖所示，空間存在兩對(duì)平行板，平行板間存在垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，板間距d=5cm，MN、PQ為磁場(chǎng)的邊界，MN、PQ之間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，OO′為該區(qū)域的對(duì)稱(chēng)軸，MN與PQ之間的距離L=2cm．兩個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量分別為+q和-q的粒子以相同速度大小v₀=2×10⁵m/s垂直電場(chǎng)線(xiàn)進(jìn)入電場(chǎng)，而后以v=2$\sqrt{2}$×10⁵m/s大小的速度進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子重力不計(jì)．
（1）若兩個(gè)粒子都從O點(diǎn)沿OO′直線(xiàn)入射，試判斷兩粒子的軌跡是否關(guān)于OO′直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？
（2）若+q粒子從O點(diǎn)沿OO′直線(xiàn)入射，-q粒子由O′沿O′O直線(xiàn)入射（未畫(huà)出），且已知兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為$\frac{\sqrt{2}}{2}$π×10^-7s，試判斷兩粒子是否會(huì)打到板上，若打到板上，求出打在板上的位置；若不能打在到上，則求出兩粒子分別從O、O′進(jìn)入到第一次離開(kāi)磁場(chǎng)各自所用的時(shí)間．
（3）若+q粒子仍從O沿OO′直線(xiàn)入射，-q粒子從O′沿O′O直線(xiàn)入射，且已知兩粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷C/kg，若要使粒子進(jìn)出磁場(chǎng)一次后，從MP或NQ之間離開(kāi)電場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）兩個(gè)粒子射入電場(chǎng)后都類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)初速度、受力情況分析軌跡是否對(duì)稱(chēng)．
（2）兩個(gè)粒子先做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．先根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間和豎直分位移．由T=$\frac{2πr}{v}$求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，由幾何關(guān)系分析粒子能否打在板上．
（3）對(duì)于正粒子，恰到Q點(diǎn)臨界，半徑應(yīng)小于此臨界值．對(duì)于負(fù)粒子，恰到M點(diǎn)臨界，半徑應(yīng)小于此臨界值．由幾何知識(shí)和半徑公式結(jié)合求解．

解答 解：（1）正負(fù)粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)初速度大小相等、方向相反．所受的電場(chǎng)力大小相等、方向相反，則加速度大小相等、方向相反，所以?xún)闪Ｗ拥能壽E關(guān)于OO′直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，平行于電場(chǎng)方向有：v_x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v=2×10⁵m/s，
$\frac{{v}_{x}{t}_{0}}{2}$=$\fracztc4agk{2}$，
t₀=10^-7s
垂直于電場(chǎng)方向有：x=v₀t₀=2cm
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期 T=$\frac{2πr}{v}$，則軌跡半徑 r=$\frac{Tv}{2π}$=1cm
正粒子：r+rcos45°=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$cm＜2cm，則不會(huì)打到板上．運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=t₀+$\frac{3}{4}$T=（1+$\frac{3\sqrt{2}π}{8}$）×10^-7s
負(fù)粒子：x+2rcos45°=4cm＜5cm，不會(huì)打到板上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t′=t₀+$\frac{1}{4}$T=（1+$\frac{\sqrt{2}π}{8}$）×10^-7s
（2）正粒子：恰到Q點(diǎn)臨界，半徑應(yīng)小于此臨界值，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度設(shè)為B₁．
可得弦長(zhǎng)為 $\sqrt{2}{r}_{1}$=4-3=1cm
軌跡半徑 r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cm
由r=$\frac{mv}{qB}$，得 B=$\frac{mv}{qr}$
將r₁代入得 B₁=0.8T
此時(shí)r₁已小于第（2）問(wèn)中的r，故此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度比B₁大．
負(fù)粒子：恰到M點(diǎn)臨界，半徑應(yīng)小于此臨界值，對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度設(shè)為B₂．
可得弦長(zhǎng)為 $\sqrt{2}{r}_{2}$=5-2=3cm
軌跡半徑 r₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cm
此時(shí)r₂＞r₁，對(duì)應(yīng)的B₂＜B₁．
綜合分析得：磁感應(yīng)強(qiáng)度只要大于B₁，正粒子既不會(huì)再次進(jìn)入磁場(chǎng)也不會(huì)打到板上，負(fù)粒子也不會(huì)打到板上，即 B＞0.8T．
答：
（1）兩粒子的軌跡關(guān)于OO′直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．
（2）正粒子不會(huì)打到板上．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1+$\frac{3\sqrt{2}π}{8}$）×10^-7s
負(fù)粒子不會(huì)打到板上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1+$\frac{\sqrt{2}π}{8}$）×10^-7s．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍是B＞0.8T．

點(diǎn)評(píng) 粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，掌握兩種運(yùn)動(dòng)的處理規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)動(dòng)的分解與幾何關(guān)系的應(yīng)用．