Question

2．宇宙空間有一些星系距離其它星體的距離非常遙遠，可以忽略其它星系對它們的作用．今有四顆星體組成一穩(wěn)定星系，在萬有引力作用下運行，其中三顆星體A、B、C位于邊長為a的正三角形的三個頂點上，沿外接圓軌道做勻速圓周運動，第四顆星體D位于三角形外接圓圓心，四顆星體的質(zhì)量均為m，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 星體A受到的向心力為（3+$\sqrt{3}$）$\frac{{G{m^2}}}{a^2}$
• B． 星體A受到的向心力為（3+2$\sqrt{3}$）$\frac{{G{m^2}}}{a^2}$
• C． 星體B運行的周期為2πa$\sqrt{\frac{a}{{（1+3\sqrt{3}）Gm}}}$
• D． 星體B運行的周期為2πa$\sqrt{\frac{a}{{（3+\sqrt{3}）Gm}}}$

Answer 1

分析 每顆星做勻速圓周運動，靠另外三顆星萬有引力的合力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)合力等于向心力求出周期．

解答 解：AB、每顆星做勻速圓周運動，靠另外三顆星萬有引力的合力提供向心力，故：
F_n=F_ABcos30°+F_AD+F_ACcos30°=$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{G{m}^{2}}{（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$+$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=（3+$\sqrt{3}$）$\frac{{G{m^2}}}{a^2}$   ①
故A正確，B錯誤；
CD、萬有引力提供向心力，故：
F_n=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）$     ②
聯(lián)立①②解得：
T=2πa$\sqrt{\frac{a}{3（1+\sqrt{3}）Gm}}$
故C錯誤，D錯誤；
故選：A

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．