Question

12．勁度系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置在地面上，其上端固定有質(zhì)量為M的鋼板，處于靜止狀態(tài)，如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從距鋼板H的高處自由下落并與之發(fā)生碰撞，碰撞中無機械能損失．已知M=3m，彈簧振子的周期T=2π$\sqrt{\frac{M}{k}}$．
（1）求小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁和鋼板的速度v₂．
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），求鋼板質(zhì)量的最大值．
（3）以小球自由下落的瞬間為計時起點，以向下為正方向，畫出小球的v-t圖線（要求至少畫出小球與鋼板發(fā)生第三次碰撞前的圖線，寫出畫圖的依據(jù)）．

Answer 1

分析 （1）小球碰前做自由落體運動，碰撞過程系統(tǒng)動量和機械能均守恒，根據(jù)守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰，則小球返回時間為鋼板簡諧運動半周期的奇數(shù)倍，根據(jù)等時性列式后聯(lián)立求解；
（3）根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律聯(lián)立求解出第二次碰撞后小球和鋼板的速度，同理再求解第二次碰撞后小球和鋼板的速度，…，最后做v-t圖象

解答 解：（1）設(shè)小球落至鋼板時速度為v₀，由機械能守恒定律得：mgH=$\frac{1}{2}$mv₀²…①
碰撞過程中動量守恒，以向下為正方向，由動量守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv₂…②
機械能無損失，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₀²…③
聯(lián)立①②③式得，v₁=-$\frac{1}{2}$v₀，負號表示方向向上，v₂=$\frac{1}{2}$v₀，方向豎直向下．
（2）由（1）可知，碰撞后小球做豎直上拋運動，鋼板以$\frac{1}{2}$v₀（連同彈簧）向下做簡諧運動，
要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則必有小球重新落回到O處所用的時間t恰好對應，
t=nT+$\frac{1}{2}$T，而當M取最大值時，必有t=$\frac{1}{2}$T，
即t=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=π$\sqrt{\frac{M}{k}}$，
解得：M=$\frac{2kH}{g{π}^{2}}$．
（3）小球與鋼板的第二次碰撞動量守恒，以向下為正方向，由動量守恒定律得：
m•$\frac{1}{2}$v₀-M•$\frac{1}{2}$v₀=mv₃+Mv₄，
由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v₀）²+$\frac{1}{2}$M（$\frac{1}{2}$v₀）²=$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$Mv₄²，
解得：v₃=-v₀，方向豎直向上，v₄=0，當小球再次落回與鋼板發(fā)生第三次碰撞時，
第三次碰撞是第一次碰撞的重復，此后過程將周而復始地進行，小球的v-t圖線如圖所示．
答：（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁大小為$\frac{1}{2}$v₀，方向：豎直向上，鋼板的速度v₂大小為$\frac{1}{2}$v₀，方向：豎直向下．
（2）鋼板質(zhì)量的最大值為：$\frac{2kH}{g{π}^{2}}$．
（3）小球的v-t圖線如圖所示．

點評 本題關(guān)鍵明確小球和鋼板的運動規(guī)律，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律多次列式后聯(lián)立求解，第二問找出臨界情況是關(guān)鍵，第三問找出重復性是關(guān)鍵．