Question

17．一種玩具模型如圖所示，軌道ABCD位于豎直平面內(nèi)，AB是半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，水平軌道BC段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，斜軌道CD與水平面成α角，且足夠長(zhǎng)，在C處用光滑的小圓弧與BC連接．今有一質(zhì)點(diǎn)從AB上高度為h處由靜止開(kāi)始滑下，它與BC、CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，試解決下列問(wèn)題：

（1）要求質(zhì)點(diǎn)至少有兩次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，則h的最小值為多少？
（2）若α，R，L，h固定不變，而改變?chǔ)痰闹�，則最終質(zhì)點(diǎn)可能停在BC上，也可能停在CD上，試分析μ取值滿足什么條件時(shí)，質(zhì)點(diǎn)最終將停在CD上？

Answer 1

分析 （1）先分析滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，摩擦力對(duì)滑塊做功的特點(diǎn)，然后又功能關(guān)系寫(xiě)出相應(yīng)的公式，即可求出h的最小值；
（2）若滑塊停在斜面上，首先要求滑塊受到的摩擦力要大于等于重力沿斜面向下的分力，其次要求滑塊恰好在斜面處．

解答 解：（1）滑塊在斜面上受到重力．支持力和斜面的摩擦力的作用，沿斜面的方向：f=μmgcosα
滑塊在斜面上的位移為L(zhǎng)′時(shí)，對(duì)應(yīng)的水平距離為x，則：x=L′cosα
滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的距離為L(zhǎng)時(shí)，克服摩擦力做的功：W_f=f•L′=μmgcosα•L′=μmg•L′cosα=μmg•x，
滑塊在圓弧軌道上不受摩擦力的作用，所以僅僅在水平面上和斜面上受到摩擦力的做功，摩擦力才對(duì)滑塊做功．
由于摩擦力做功的特點(diǎn)是僅僅與路程、摩擦力的大小有關(guān)，所以若質(zhì)點(diǎn)恰好有兩次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，則滑塊到達(dá)斜面的最高點(diǎn)上的h′處，滿足：
mgh=μmgL+μmgx+mgh′
又：μmgL+μmgx=mgh′，h′=xtanα
聯(lián)立解得：$h=\frac{2μLtanα}{tanα-μ}$
（2）若α，R，L，h固定不變，首先要求滑塊受到的摩擦力要大于等于重力沿斜面向下的分力，即：
μmgcoα≥mgsinα
得：μ≥tanα
同時(shí)，還要滿足滑塊必須滑過(guò)C點(diǎn)，即滑塊在水平面上的位移要大于等于L，即：
mgh≥μmgL
即：$μ≤\frac{h}{L}$
答：（1）要求質(zhì)點(diǎn)至少有兩次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，則h的最小值為$\frac{2μLtanα}{tanα-μ}$；
（2）若α，R，L，h固定不變，當(dāng)μ滿足$tanα≤μ≤\frac{h}{L}$時(shí)，質(zhì)點(diǎn)最終將停在CD．

點(diǎn)評(píng) 該題中，滑塊經(jīng)歷的過(guò)程比較多，尤其是在斜面上的運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合滑塊在斜面上的受力，正確寫(xiě)出滑塊在斜面上的摩擦力做功的情況，才能正確答題．