Question

6．如圖所示，高為L的斜軌道AB、CD與水平面的夾角均為45°，它們分別與豎直平面的圓弧形光滑軌道相切于B，D兩點(diǎn)，圓弧的半徑也為L，質(zhì)量為m的小滑塊從A點(diǎn)由靜止滑下后，經(jīng)CD軌道返回，在CD上到達(dá)的最高點(diǎn)離D點(diǎn)的豎直高度為$\frac{L}{4}$，再次沖上AB軌道至速度為零時，相對于BD面的高度為$\frac{L}{5}$，已知滑塊與AB軌道間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.5，重力加速度為g，求：

（1）滑塊第一次經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時對軌道的壓力F；
（2）滑塊與CD面間的動摩擦因數(shù)μ₂；
（3）經(jīng)過足夠長時間，滑塊在兩斜面上滑動的路程之和s．

Answer 1

分析 （1）對第一次滑到最低點(diǎn)的過程運(yùn)用動能定理，求出最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出滑塊對最低點(diǎn)的壓力大�。�
（2）分別求出第一次到達(dá)D點(diǎn)和第二次到達(dá)D點(diǎn)的動能，通過在CD上運(yùn)動損失的機(jī)械能求出動摩擦因數(shù)的大�。�
（3）滑塊在AB上從靜止滑下到再次滑上AB并靜止，其高度變?yōu)殚_始時的$\frac{1}{5}$，根據(jù)通項(xiàng)公式得出在AB上運(yùn)動的路程，根據(jù)在BD間滑動損失的機(jī)械能，結(jié)合功能關(guān)系求出在CD上滑行的總路程，從而得出滑塊在兩斜面上滑動的路程之和．

解答 解：（1）對第一次滑動最低點(diǎn)的過程中運(yùn)用動能定理得，$mg（L+L-Lsin45°）-μmgcos45°•\sqrt{2}L$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
聯(lián)立兩式解得F=（$4-\sqrt{2}$）mg．
則第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點(diǎn)時對軌道的壓力為（$4-\sqrt{2}$）mg．
（2）滑塊第一次經(jīng)過D時的動能為${E}_{1}=mgL-{f}_{1}×\sqrt{2}L=0.5mgL$，
第二次經(jīng)過D時的動能為${E}_{2}=mg\frac{L}{5}+{f}_{1}×\sqrt{2}\frac{L}{5}=0.3mgL$，
設(shè)滑塊在CD上的摩擦力為f₂，f₂=μ₂mgcos45°，第一次在CD上靜止時離BD面的高度為h，由功能關(guān)系得，
${E}_{1}=mgh+{f}_{2}×\sqrt{2}h=mgh+{μ}_{2}$mgh，
${E}_{1}-{E}_{2}=2{f}_{2}×\sqrt{2}h=2{μ}_{2}mgh$．
代入數(shù)據(jù)解得μ₂=0.4．
（3）設(shè)滑塊在AB、CD上滑動的總路程分別為s₁、s₂，由題設(shè)條件可知，滑塊在AB上從靜止滑下到再次滑上AB并靜止，其高度變?yōu)殚_始時的$\frac{1}{5}$，則
${s}_{1}=\sqrt{2}（L+2（\frac{L}{5}+\frac{l}{{5}^{2}}+…）]$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}L$，
經(jīng)過很長時間，滑塊將保持在BD間滑動，損失的機(jī)械能為mgL=μ₁mgcos45°•s₁+μ₂mgcos45°•s₂，
解得${s}_{2}=\sqrt{2}L$．
所以s=${s}_{1}+{s}_{2}=\frac{5\sqrt{2}L}{2}$．
答：（1）滑塊第一次經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時對軌道的壓力F為（$4-\sqrt{2}$）mg．
（2）滑塊與CD面間的動摩擦因數(shù)為0.4；
（3）經(jīng)過足夠長時間，滑塊在兩斜面上滑動的路程之和為$\frac{5\sqrt{2}}{2}L$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、功能關(guān)系的運(yùn)用，對于（1）（2）兩問難度不是太大，關(guān)鍵選擇好研究的過程，選擇合適的功能關(guān)系進(jìn)行求解，第三問對數(shù)學(xué)能力的要求較高，是本題的壓軸部分，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．