Question

11．如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點的高度為筒高的一半．內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊．求
（1）當筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力和支持力的大�。�
（2）當ω=ω₀，且其受到的摩擦力為零時，求筒轉(zhuǎn)動的角速度；
（3）請分析當ω=（1+k）ω₀與ω=（1-k）ω₀時，且0＜k＜1，小物體均處于靜止狀態(tài)，求小物體分別受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）物體受重力、支持力和靜摩擦力，根據(jù)平衡條件求解靜摩擦力和支持力；
（2）物體受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求解出合力，根據(jù)向心力公式列式求解筒轉(zhuǎn)動的角速度；
（3）如果物體的角速度ω=（1+k）ω₀，物體相對斜面有上滑趨勢，靜摩擦力平行斜面向下，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解靜摩擦力；
如果物體的角速度ω=（1-k）ω₀，物體相對斜面有下滑趨勢，靜摩擦力平行斜面向上，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解靜摩擦力．

解答 解：（1）物體受重力、支持力和靜摩擦力，設(shè)斜面坡角為θ，根據(jù)平衡條件，有：
N=mgcosθ=$\frac{mgR}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
f=mgsinθ=$\frac{mgH}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉(zhuǎn)動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁A點時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，故：

mgtanθ=m${ω}_{0}^{2}r$
其中：
tanθ=$\frac{H}{R}$
r=$\frac{R}{2}$
聯(lián)立解得：
ω₀=$\frac{\sqrt{2gH}}{R}$
（3）如果物體的角速度ω=（1+k）ω₀，物體相對斜面有上滑趨勢，靜摩擦力平行斜面向下，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：

豎直方向：Ncosθ=mg+fsinθ
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω²r
其中：r=$\frac{R}{2}$
解得：
f=mω²rtanθ-mgsinθ=$m（1+k）^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$-mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
如果物體的角速度ω=（1-k）ω₀，物體相對斜面有下滑趨勢，靜摩擦力平行斜面向上，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
豎直方向：Ncosθ=mg-fsinθ
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω²r
其中：r=$\frac{R}{2}$
解得：
f=-mω²rtanθ+mgsinθ=-$m{（1-k）}^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$+mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$
答：（1）當筒不轉(zhuǎn)動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力為$\frac{mgH}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$，支持力的大小為$\frac{mgR}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$；
（2）當ω=ω₀，且其受到的摩擦力為零時，筒轉(zhuǎn)動的角速度為$\frac{\sqrt{2gH}}{R}$；
（3）當ω=（1+k）ω₀時，小物體處于靜止狀態(tài)，小物體受到的摩擦力大小為$m（1+k）^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$-mg$\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$，方向平行斜面向下．
當ω=（1-k）ω₀時，小物體處于靜止狀態(tài)，小物體受到的摩擦力大小為-$m{（1-k）}^{2}{ω}_{0}^{2}\frac{{R}^{2}}{2\sqrt{{H}^{2}+{R}^{2}}}$+mg，方向平行斜面向上．

點評 本題是圓錐擺類型．明確勻速圓周運動中是指向圓心的合力等于向心力，其實是牛頓第二定律的運用，關(guān)鍵是受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解．