Question

7．如圖所示，兩塊靠近并平行的長板AC、ac豎直固定在水平地面上，兩長板的AB、ab段均光滑，BC、bc段是動摩擦因數(shù)μ=0.5的粗糙面，AB、BC、ab、bc段長度均為5m，P點(diǎn)離地高度2.9m．質(zhì)量均為1kg的相同甲、乙兩小物塊中間固定一壓縮的輕質(zhì)彈簧，該彈簧被壓縮了2cm，此彈簧的勁度系數(shù)為k=500N/m．兩物塊在A、a位置由靜止同時(shí)釋放，已知物塊碰撞地面后以碰地時(shí)同樣大小的速度反彈，與地碰撞時(shí)間忽略不計(jì)．（不計(jì)空氣阻力，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，g取10m/s²）求：
（1）彈簧對甲物塊的彈力大��；
（2）甲從釋放到第一次達(dá)到B點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）甲從釋放開始，需多長時(shí)間經(jīng)過P點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律即可求出彈力的大小；
（2）AB段是光滑的，小物塊不受摩擦力，在豎直方向做自由落體運(yùn)動，由位移公式即可求出時(shí)間；
（3）小物塊先向下經(jīng)過P點(diǎn)，被地面反彈后可能仍然能夠經(jīng)過P點(diǎn)，試分析計(jì)算即可求出可能的情況．

解答 解：（1）由胡克定律，彈簧對甲物塊的彈力：
F=kx=500×0.02=10N
（2）AB段是光滑的，小物塊在豎直方向做自由落體運(yùn)動，由位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
（3）甲到達(dá)B時(shí)的速度：v₁=gt=10×1=10m/s
設(shè)甲從B到P的時(shí)間是t₁，則：BP=5m-2.9m=2.1m
物塊在BC之間的加速度a：ma=mg-μF_N=mg-μF
代入數(shù)據(jù)得：a=5m/s²
$BP={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.2s（另一個(gè)解不合題意）
所以甲到達(dá)P的時(shí)間：t_P1=t+t₁=1+0.2=1.2s
由公式：$2ax={v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$
物塊到達(dá)C的速度：${v}_{2}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+2ax}=\sqrt{1{0}^{2}+2×5×5}=\sqrt{150}$m/s
B到C的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{a}=\frac{\sqrt{150}-10}{5}≈0.45$s
物塊向上運(yùn)動的過程中重力與摩擦力的方向都向下，則：
ma′=mg+μF_N=mg+μF
代入數(shù)據(jù)得：a′=15m/s²
若物塊上升的過程中仍然能到達(dá)P，則到達(dá)P的速度v₃：$-2a′•CP={v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$
得：${v}_{3}=\sqrt{13}$m/s＞0
C到P的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{{v}_{3}-{v}_{2}}{-a′}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{150}}{-15}≈0.576$s
物塊甲返回P點(diǎn)時(shí)用的總時(shí)間：t_P2=t+t₂+t₃=1+0.45+0.576=2.026s
物塊繼續(xù)上升的過程中到達(dá)的最大高度：
仍然能到達(dá)B，則到達(dá)B的速度v₄：$-2a′h={v}_{4}^{2}-{v}_{2}^{2}$
得：v₄=0
P到B的時(shí)間：${t}_{4}=\frac{0-{v}_{3}}{-a′}=\frac{\sqrt{13}}{15}=0.24$s
從B向下運(yùn)動的過程中：$BP=\frac{1}{2}a{t}_{5}^{2}$
${t}_{5}=\sqrt{\frac{2•BP}{a}}=\sqrt{\frac{2×2.1}{5}}=0.917$s
物塊第三次到達(dá)P的時(shí)間：t_P3=t+t₂+t₄+t₅=1+0.45+0.24+0.917=2.607s
由B到達(dá)C的速度v₅，$2ah={v}_{5}^{2}-{v}_{4}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{5}=5\sqrt{2}$m/s
物塊甲還能上式的最大高度h″，則：
$2a′h″={v}_{5}^{2}$
得：$h″=\frac{5}{3}m＜2.9m$
所以物塊甲不能再到達(dá)P點(diǎn)．物塊甲經(jīng)過P的次數(shù)共三次．
答：（1）彈簧對甲物塊的彈力大小是10N；
（2）甲從釋放到第一次達(dá)到B點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間是1s；
（3）甲從釋放開始，物塊甲三次經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間分別是1.2s，2.026s和2.607s．

點(diǎn)評 該題的前兩問比較簡單，分別由胡克定律和自由落體運(yùn)動的公式即可求出．該題的第三問要注意的是物塊甲反彈的過程中可能多次經(jīng)過P點(diǎn)，要分別對可能的情況進(jìn)行討論，不能由遺漏．