Question

16．由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在一種運動形式：三顆星體在互相之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動（圖示為ABC三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況）．若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，則下列說法中正確的有（　　）

• A． A星體受到的B、C兩星體萬有引力的合力充當A星體圓周運動的向心力
• B． B、C兩星體圓周運動的半徑相同
• C． A星體受到的合力大小為$\sqrt{3}$G$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$
• D． B星體受到的合力大小為$\sqrt{7}$G$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$

Answer 1

分析 由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的合力充當A星體圓周運動的向心力．
C與B的質(zhì)量相等，所以運行的規(guī)律也相等，然后結(jié)合向心力的公式即可求出C的軌道半徑；
由萬有引力定律，分別求出單個的力，然后求出A、B受到的合力即可；

解答 解：A、由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的合力充當A星體圓周運動的向心力．故A正確；
B、C與B的質(zhì)量相等，所以運行的規(guī)律也相等，所以B、C兩星體圓周運動的半徑相同．故B正確；
C、由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的大�。�
${F}_{BA}={F}_{CA}=\frac{G{m}_{A}{m}_{c}}{{a}^{2}}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$
方向如圖，則合力的大小為：${F}_{A}=2{F}_{BA}•cos30°=2\sqrt{3}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$．故C錯誤；
D、同上，B星受到的引力分別為：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如圖；
沿x方向：${F}_{Bx}={F}_{AB}•cos60°+{F}_{CB}=2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
沿y方向：${F}_{By}={F}_{AB}•sin60°=\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
可得：${F}_{B}=\sqrt{{F}_{Bx}^{2}+{F}_{By}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$．故D正確．
故選：ABD

點評 該題借助于三星模型考查萬有引力定律，其中B與C的質(zhì)量相等，則運行的規(guī)律、運動的半徑是相等的．畫出它們的受力的圖象，在結(jié)合圖象和萬有引力定律即可正確解答．