Question

6．正電子發(fā)射計(jì)算機(jī)斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段．PET所用回旋加速器示意如圖，其中置于高真空中的兩金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距很小，質(zhì)子在兩盒間加速時間可忽略不計(jì)．在左側(cè)D₁盒圓心處放有粒子源S不斷產(chǎn)生質(zhì)子，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示．質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q．假設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場時的初速度不計(jì)，加速電壓為U，保證質(zhì)子每次經(jīng)過電場都被加速．
（1）求第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v₁；
（2）經(jīng)多次加速后，質(zhì)子最終從出口處射出D形盒，求質(zhì)子射出時的動能E_km和在回旋加速器中運(yùn)動的總時間t_總；
（3）若質(zhì)子束從回旋加速器射出時的平均功率為P，求射出時質(zhì)子束的等效電流I．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在盒間加速時，動能做功引起動能變化，根據(jù)動能定理求解第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v₁；
（2）質(zhì)子最終從出口處射出D形盒時，軌跡半徑等于D形盒的半徑R，此時速度最大．根據(jù)質(zhì)子磁場中運(yùn)動時，由洛倫茲力提供向心力列式求質(zhì)子射出時的動能E_km．由動能定理求出質(zhì)子被加速的次數(shù)，即可結(jié)合周期求解出總時間．
（3）由平均功率$P=\frac{{N•\frac{1}{2}mv_m^2}}{t}$，求出在t時間內(nèi)離開加速器的質(zhì)子數(shù)N，再由電流的定義求解等效電流I．

解答 解：（1）質(zhì)子第1次被加速后，由動能定理得 $qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
得：${v_1}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有  $qvB=m\frac{v^2}{r}$
質(zhì)子做圓周運(yùn)動的半徑  $r=\frac{mv}{qB}$
當(dāng)r=R時，質(zhì)子的速度最大，動能最大．
所以最大速度 ${v_m}=\frac{qBR}{m}$，最大動能 ${E_{km}}=\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$
粒子做圓周運(yùn)動的周期 $T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
設(shè)質(zhì)子在電場中加速的次數(shù)為n，由動能定理得：$nqU=\frac{1}{2}mv_m^2$
質(zhì)子在電場中每加速一次，隨即在磁場中運(yùn)動半周，所以 ${t_總}=n•\frac{T}{2}$
聯(lián)立解得  ${t_總}=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
（3）設(shè)在t時間內(nèi)離開加速器的質(zhì)子數(shù)為N，則質(zhì)子束從回旋加速器射出時的平均功率 $P=\frac{{N•\frac{1}{2}mv_m^2}}{t}$
輸出時質(zhì)子束的等效電流 $I=\frac{N•q}{t}$
解得  $I=\frac{2mP}{{q{B^2}{R^2}}}$
答：
（1）第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v₁為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）質(zhì)子射出時的動能E_km為$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$，在回旋加速器中運(yùn)動的總時間t_總為$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$．
（3）射出時質(zhì)子束的等效電流I為$\frac{2mP}{q{B}^{2}{R}^{2}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理解回旋加速器的工作原理，知道粒子出回旋加速器時軌道半徑，對應(yīng)的速度最大，根據(jù)洛倫茲力等于向心力可求出最大速度．