Question

11．如圖所示，寬度為L，水平放置的足夠長的金屬框架中接有電動勢為ε，內阻為r的電源和阻值為R的電阻，框架上放置一質量為m、電阻不計的金屬桿，它可以在框架上無摩擦地滑動．勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直于框架平面向上．求：
（1）當單刀雙擲電鍵擲向a后金屬桿開始滑動，運動過程中加速度a與速度v滿足的函數關系式；
（2）當金屬桿以最大速度運動時將單刀雙擲電鍵擲向b，求此后金屬棒向右移動的最遠距離s，以及金屬棒運動到λs（0＜λ＜1）時金屬棒瞬時速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）當單刀雙擲電鍵擲向a后金屬桿開始滑動，桿的速度為v時，回路中總電動勢為 E=ε-BLv，感應電流I=$\frac{E}{R+r}$，桿所受的安培力 F=BIL，根據牛頓第二定律得：F=ma，即可求得加速度a與速度v的關系式．
（2）當金屬桿以最大速度運動時將單刀雙擲電鍵擲向b，桿在安培力作用下做減速運動，根據牛頓第二定律、加速度的定義式列式，由積分法求最遠距離s．并求金屬棒運動到λs（0＜λ＜1）時金屬棒瞬時速度的大小．

解答 解：（1）當單刀雙擲電鍵擲向a后金屬桿開始滑動，桿的速度為v時，回路中總電動勢為 E=ε-BLv
  感應電流為 I=$\frac{E}{R+r}$ ①
   桿所受的安培力 F=BIL ②
根據牛頓第二定律得：F=ma ③
聯立解得 a=$\frac{B（?-BLv）L}{m（R+r）}$ ④
（2）設金屬桿的最大速度為v_m．此時a=0，由上式④得 v_m=$\frac{?}{BL}$當金屬桿以最大速度運動時將單刀雙擲電鍵擲向b，桿在安培力作用下做減速運動，根據牛頓第二定律得
   $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$ ⑤
可得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t=m△v ⑥
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t=$\sum_{\;}^{\;}$m△v ⑦
而$\sum_{\;}^{\;}$v△t=$\sum_{\;}^{\;}$△s=s，$\sum_{\;}^{\;}$m△v=mv_m=m•$\frac{?}{BL}$ ⑧
解得 s=$\frac{?mR}{{B}^{3}{L}^{3}}$ ⑨
設金屬棒運動到λs（0＜λ＜1）時金屬棒瞬時速度的大小為v．
由⑦得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$λs=m（v_m-v） （10）
由⑨（10）及v_m=$\frac{?}{BL}$ 解得：v=$\frac{（1-λ）?}{BL}$
答：
（1）當單刀雙擲電鍵擲向a后金屬桿開始滑動，運動過程中加速度a與速度v滿足的函數關系式是a=$\frac{B（?-BLv）L}{m（R+r）}$；
（2）當金屬桿以最大速度運動時將單刀雙擲電鍵擲向b，此后金屬棒向右移動的最遠距離s是$\frac{?mR}{{B}^{3}{L}^{3}}$，金屬棒運動到λs（0＜λ＜1）時金屬棒瞬時速度的大小是$\frac{（1-λ）?}{BL}$．

點評 本題關鍵要學會運用積分法求非勻變速運動的速度和位移，其切入口是牛頓第二定律和加速度的定義式．