Question

10．如圖所示，在長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)、寬度d=5cm的區(qū)域MNPQ內(nèi)，有垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.33T．水平邊界MN上方存在范圍足夠大的豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=200N/C．現(xiàn)有大量質(zhì)量m=6.6×10^-27kg、電荷量q=3.2×10^-19C的帶負(fù)電的粒子，同時(shí)從邊界PQ上的O點(diǎn)沿紙面向各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，射入時(shí)的速度大小均為v=1.6×10⁶m/s，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用．求：
（1）求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r
（2）求與x軸負(fù)方向成60°角射入的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t及從PQ邊界出磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)
（3）當(dāng)從MN邊界上最左邊射出的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)，求仍在磁場(chǎng)中的粒子（未進(jìn)入過電場(chǎng)）的初速度方向與x軸正方向的夾角范圍，并寫出此時(shí)這些粒子所在位置構(gòu)成的圖形的曲線方程．

Answer 1

分析 （1）洛倫茲力提供向心力，代人公式可以求出半徑；
（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為30°，粒子平行于場(chǎng)強(qiáng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度 進(jìn)而求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）由幾何關(guān)系可知，從MN邊界上最左邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為60°，進(jìn)而確定仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與x軸正方向的夾角范圍．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r=0.1m；
（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由幾何關(guān)系知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為30°，
粒子平行于場(chǎng)強(qiáng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度：a=$\frac{qE}{m}$，
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{2v}{a}$，
代入數(shù)據(jù)解得：t=3.3×10^-4s；
從PQ邊界出磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)：x=-2（r-$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）=-$\frac{2-\sqrt{3}}{10}$m；
（3）如圖乙所示，由幾何關(guān)系可知，從MN邊界上最左邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為60°，
圓心角小于60°的粒子已經(jīng)從磁場(chǎng)中射出，此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角均為60°．
則仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與x軸正方向的夾角范圍為30°～60°，
所有粒子此時(shí)分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為0.1m的圓周上，曲線方程為：
x²+y²=R²，（R=0.1m，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m≤x≤0.1m）；
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r為0.1m；
（2）與x軸負(fù)方向成60°角射入的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為3.3×10^-4s，從PQ邊界出磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為-$\frac{2-\sqrt{3}}{10}$m．
（3）仍在磁場(chǎng)中的粒子（未進(jìn)入過電場(chǎng)）的初速度方向與x軸正方向的夾角范圍是：30°～60°，此時(shí)這些粒子所在位置構(gòu)成的圖形的曲線方程為x²+y²=R²，（R=0.1m，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m≤x≤0.1m）．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，可通過畫軌跡圖象分析，由于仍在磁場(chǎng)中的粒子的軌跡的長(zhǎng)度與從MN邊界上最左邊射出的粒子長(zhǎng)度相同，仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向在臨界條件以內(nèi)．