Question

19．如圖所示，在圓柱形倉庫中心天花板上的O點，掛一根L=3m的細繩，繩的下端掛一個質量為m=0.5kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10N．小球在水平面內做圓周運動，當小球速度逐漸增大時，細繩與豎直方向的夾角也隨之變大．當速度逐漸增大某一數值，細繩正好斷裂，設斷裂時小球在圖中的位置A，隨后小球以v=9m/s的速度正好落在墻角的C點．設g=10m/s²，求：
（1）繩剛要斷裂時與豎直方向夾角α及此時球做圓周運動的半徑r；
（2）這個倉庫屋頂的高度H和半徑R．

Answer 1

分析 （1）根據繩子的最大拉力，結合平行四邊形定則求出繩子與豎直方向的夾角α，根據合力提供向心力求出球做圓周運動的半徑r．
（2）根據向心力公式求出繩斷時的速度，進而求出水平位移，再根據幾何關系可求H和R．

解答 解：（1）取小球為研究對象，設繩剛要斷裂時細繩的拉力大小為F，則在豎直方向有：
Fcosα=mg     
所以cosα=$\frac{mg}{F}$=$\frac{5}{10}$=0.5，故α=60°
球做圓周運動的半徑為：r=Lsin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m  
（2）OO′間的距離為：OO′=Lcos60°=3×$\frac{1}{2}$m=1.5m
則O′O″間的距離為：O′O″=H-OO′=H-1.5m
由牛頓第二定律知：Fsinα=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$ 
代入數據解得：v_A=3$\sqrt{5}$m/s    
細繩斷裂后小球做平拋運動，設A點在地面上的投影為B，如圖所示．由運動的合成可知：v_C²=v_A²+（gt）²
由此可得小球平拋運動的時間：t=0.6s   
由平拋運動的規(guī)律可知小球在豎直方向上的位移為：
s_y=$\frac{1}{2}$gt²=H-1.5m
所以屋的高度為：H=$\frac{1}{2}$gt²+1.5m=3.3m
小球在水平方向上的位移為：s_x=BC=v_At=1.8$\sqrt{5}$m  
由圖可知圓柱形屋的半徑為：R=$\sqrt{{r}^{2}+（BC）^{2}}$=4.8m．
答：（1）繩剛要斷裂時與豎直方向夾角α是60°，此時球做圓周運動的半徑r為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m；
（2）這個倉庫屋頂的高度H是3.3m，半徑R是4.8m．

點評 本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求同學們能畫出小球運動的軌跡，能結合幾何關系解題．