Question

20．如圖所示，一光滑且足夠長的斜面固定在地面上，斜面傾角θ=30°，平行于斜面的輕彈簧勁度系數(shù)為k=800N/m，一端固定在斜面底端，另一端與物塊A拴接，物塊B沿斜面疊放在物塊A上但不粘連．物塊A質(zhì)量m_A=1.5kg、物塊B質(zhì)量m_B=10.5kg，初始t₀=0時刻兩物塊均靜止．現(xiàn)用平行于斜面向上的拉力拉動物塊B，使B做勻加速運(yùn)動．已知力F在t=0.2s內(nèi)是變力，在0.2s后是恒力；彈簧始終在彈性限度內(nèi)，且彈簧形變量等大時彈性勢能也等大，g取10m/s²．求：
（1）彈簧壓縮量的最大值；
（2）物塊A與物塊B分離時彈簧的壓縮量大��；
（3）在物塊A的路程為9cm時物塊A的速度．（結(jié)果可以用根式表示）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平衡條件求出彈簧開始的壓縮量；
（2）因為在前0.2 s時間內(nèi)，F(xiàn)為變力，0.2s以后，F(xiàn)為恒力，所以在0.2s時，A、B分離，B對A的作用力為0，對物體B運(yùn)用牛頓第二定律列式得出F與加速度的關(guān)系式即可求解加速度，然后結(jié)合胡克定律即可求出；
（3）先求出彈簧的伸長量，再根據(jù)速度時間關(guān)系公式列式求出物塊A所增加的速度，最后由機(jī)械能守恒定律即可求出物塊A的速度．

解答 解：（1）設(shè)剛開始時彈簧壓縮量為x₀，則（m_A+m_B）gsin θ=kx₀…①
所以：x₀=0.075m
（2）因為在前0.2 s時間內(nèi)，F(xiàn)為變力，0.2 s以后，F(xiàn)為恒力，所以在0.2 s時，B對A的作用力為0，
由牛頓第二定律知：kx₁-m_Agsin θ=m_Aa…②
前0.2 s時間內(nèi)A、B向上運(yùn)動的距離為：x₀-x₁=$\frac{1}{2}$at²…③
①②③式聯(lián)立解得：
a=3 m/s²
x₁=0.015m．
（3）在物塊A的路程為9cm時彈簧變成了伸長，伸長量：x₂=△x-x₀=0.09-0.075=0.015m
所以此時彈簧的彈性勢能與A、B分離時彈簧的彈性勢能相等．分離時A的速度：v₁=at=3×0.2=0.6m/s
在物塊A的路程為9cm時A的一部分動能轉(zhuǎn)化為重力勢能，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+mg（{x}_{1}+{x}_{2}）sin30°$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{2}=\sqrt{0.06}$m/s
答：（1）彈簧壓縮量的最大值是0.075m；
（2）物塊A與物塊B分離時彈簧的壓縮量大小是0.015m；
（3）在物塊A的路程為9cm時物塊A的速度是$\sqrt{0.06}$m/s．

點(diǎn)評 從受力角度看，兩物體分離的條件是兩物體間的正壓力為0．從運(yùn)動學(xué)角度看，一起運(yùn)動的兩物體恰好分離時，兩物體在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．