Question

8．如圖所示，一半徑為R的光滑圓形細(xì)管，固定于豎直平面內(nèi)，放置于管內(nèi)最低處的小球以初速度v₀沿管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，欲使小球通過(guò)管的最高點(diǎn)，且小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁有向下的壓力，求v₀必須滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 若小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁有向下的壓力，則管壁對(duì)小球有向上的支持力，則小球所受重力和支持力的合力提供向心力，小球的速度再根據(jù)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，由機(jī)械能守恒即可求解范圍．

解答 解：在最高點(diǎn)小球的重力和管壁對(duì)小球的支持力提供向心力，則有：
mg-T=$\frac{{v}^{2}}{R}$，
當(dāng)T=0時(shí)，速度最大，解得：
v=$\sqrt{gR}$
所以當(dāng)0≤v＜$\sqrt{gR}$時(shí)，小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁有向下的壓力，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv² 
當(dāng)v=0時(shí)，解得：${v}_{0}=2\sqrt{gR}$，
當(dāng)v=$\sqrt{gR}$時(shí)，解得：${v}_{0}=\sqrt{5gR}$
所以v₀的范圍為：$2\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$
答：v₀必須滿(mǎn)足的條件為$2\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，知道雙軌道模型，軌道對(duì)小球既能提供支持力，又能提供拉力，難度適中．