Question

13．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的圓管豎直放置，頂端塞有一個(gè)質(zhì)量為m的彈性小球，M=5m，球和管間的滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力大小均為5mg．管從下端離地面距離為H處自由落下，運(yùn)動(dòng)過程中，管始終保持豎直，設(shè)管落地后向上彈起的速度與落地時(shí)速度大小相等，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）管落地彈起時(shí)管和球的加速度大小和方向；
（2）管落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則管達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，管的下端距地面的高度；
（3）管彈起后球不致滑落，管長L至少應(yīng)為多長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對(duì)于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對(duì)于管靜止時(shí)的相對(duì)位移，即可求解．
（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對(duì)加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間和管從碰地到與球相對(duì)靜止所需的時(shí)間，比較兩個(gè)時(shí)間知道球與管的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出管上升的最大高度．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）管第一次落地彈起時(shí)，
管的加速度${a_1}=\frac{5mg+5mg}{5m}=2g$，方向向下
球的加速度${a_2}=\frac{f-mg}{m}=4g$，方向向上
（2）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時(shí)速度${v_0}=\sqrt{2gH}$，方向向下．
碰地后管的速度${v_1}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v_2}=\sqrt{2gH}$，方向向下
若球剛好沒有從管中滑出，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₁，球管速度v相同，
則有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
${t_1}=\frac{{2{v_0}}}{{{a_1}+{a_2}}}=\frac{{\sqrt{2gH}}}{3g}$
又管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時(shí)間t₂，則：${t_2}=\frac{v_0}{a_1}=\frac{{\sqrt{2gH}}}{2g}$
因?yàn)閠₁＜t₂，說明管在達(dá)到最高點(diǎn)前，球與管相對(duì)靜止，故管從彈起經(jīng)t₁這段時(shí)間上升的高度為所求．得
${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{v_1^2}{3g}-\frac{v_1^2}{9g}=\frac{4}{9}H$
球與管達(dá)到相對(duì)靜止后，將以速度v、加速度 g豎直上升到最高點(diǎn)，由于
$v={v_2}-{a_2}{t_1}=-\frac{1}{3}\sqrt{2gH}$，
故這個(gè)高度是${h_2}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{{{（\frac{1}{3}\sqrt{2gH}）}^2}}}{2g}=\frac{1}{9}H$
因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度$Hm={h_1}+{h_2}=\frac{5}{9}H$
（3）這個(gè)高度是${h_2}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{{{（\frac{1}{3}\sqrt{2gH}）}^2}}}{2g}=\frac{1}{9}H$
因此，管第一次落地彈起后上升的最大高度$Hm={h_1}+{h_2}=\frac{5}{9}H$
這一過程球運(yùn)動(dòng)的位移$s={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_2}t_1^2=\frac{2}{9}H$
則球與管發(fā)生相對(duì)位移${s_1}={h_1}+s=\frac{2}{3}H$
當(dāng)管與球從H_m再次下落，第二次落地彈起中，發(fā)生的相對(duì)位移由第一次可類推知：${s_2}=\frac{2}{3}{H_m}$
所以管第二次彈起后，球不會(huì)滑出管外的條件是s₁+s₂＜L
即L應(yīng)滿足條件$L＞\frac{28}{27}H$
答：（1）管第一次落地彈起時(shí)管和球的加速度分別為2g方向豎直向下和4g方向豎直向上；
（2）管落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則管達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，管的下端距地面的高度是$\frac{5}{9}H$；
（3）管第二次彈起后球不致滑落，L應(yīng)滿足$L＞\frac{28}{27}H$．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動(dòng)情況難于判斷，關(guān)鍵通過計(jì)算理清球和管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．