Question

15．如圖所示，兩個(gè)重力分別為G_A和G_B的小圓環(huán)用細(xì)線連著套在一個(gè)豎直固定的大圓環(huán)上，如果連線對圓心的夾角為α，當(dāng)大圓環(huán)和小圓環(huán)之間的摩擦力及線的質(zhì)量忽略不計(jì)時(shí)，求連線與豎直方向夾角θ．

Answer 1

分析 物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，所受的力對任意一點(diǎn)的合力矩為零，將AB兩物體及連線看作一個(gè)整體，整體所受力對圓心O的合力矩也必定為零，根據(jù)力矩平衡以及三角形的正弦定理、余弦定理列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，所受的力對任意一點(diǎn)的合力矩為零，將AB兩物體及連線看作一個(gè)整體，整體所受力對圓心O的合力矩也必定為零，且N₁和N₂的延長線過圓心O，由此可以推知：
G_A和G_B對圓心的力矩之和也為零，其大小關(guān)系相等，則有：
G_A•ACsinθ=G_B•BCsinθ，則G_A•AC=G_B•BC…①
因?yàn)椤螦OB=α，且△AOB為等腰三角形，可以得出$∅=90°-\frac{α}{2}$，
設(shè)圓的半徑為R，則AB=2Rsin$\frac{α}{2}$…②
由①②可得：AC=$\frac{{G}_{B}}{{G}_{A}+{G}_{B}}2Rsin\frac{α}{2}$，BC=$\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+{G}_{B}}2Rsin\frac{α}{2}$，
對△OBC由余弦定理得：OC=$\sqrt{（OB）^{2}+（BC）^{2}+2（OB）（BC）cos∅}$，OB=R，
整理得：$OC=\frac{R\sqrt{{{G}_{A}}^{2}+{{G}_{B}}^{2}+2{G}_{A}{G}_{B}cosα}}{{G}_{A}+{G}_{B}}$…③
對△OBC由正弦定理得：$\frac{OB}{sinθ}=\frac{OC}{sin∅}$，$sinθ=\frac{Rsin∅}{OC}$…④
將③代入④可以得出：sin$θ=\frac{cos\frac{α}{2}（{G}_{A}+{G}_{B}）}{\sqrt{{{G}_{A}}^{2}+{{G}_{B}}^{2}+2{G}_{A}{G}_{B}cosα}}$
可以得出$cosθ=\frac{sin\frac{α}{2}（{G}_{A}-{G}_{B}）}{\sqrt{{{G}_{A}}^{2}+{{G}_{B}}^{2}+2{G}_{A}{G}_{B}cosα}}$…⑤

由④⑤解得：tan$θ=\frac{（{G}_{A}+{G}_{B}）}{{G}_{A}-{G}_{B}}cot\frac{α}{2}$
得：$θ=arctan\frac{（{G}_{A}+{G}_{B}）}{{G}_{A}-{G}_{B}}cot\frac{α}{2}$
答：連線與豎直方向夾角θ為$arctan\frac{（{G}_{A}+{G}_{B}）}{{G}_{A}-{G}_{B}}cot\frac{α}{2}$．

點(diǎn)評 本題屬于靜力學(xué)平衡的競賽題，對同學(xué)們數(shù)學(xué)功底的要求特別高，正弦定理、余弦定理在物體解題中的應(yīng)用，難度較大，屬于難題．