Question

1．在“勇氣號(hào)”火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，在經(jīng)過(guò)多次彈跳才停下來(lái)，假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，求：
（1）火星表面的重力加速度
（2）它第二次落到火星表面時(shí)速度大小，（計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力），已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期T，火星可視為半徑為r₀的均勻球體．

Answer 1

分析 結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力和萬(wàn)有引力提供向心力求出火星表面的重力加速度．根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出衛(wèi)星第二次落到火星表面時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）對(duì)于火星的衛(wèi)星m，根據(jù)向心力公式得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
對(duì)于火星表面的物體m₀，有：$G\frac{M{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}={m}_{0}g$
則：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}$
（2）著陸器第二次下落，機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{8{π}^{2}h{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}+{{v}_{0}}^{2}}$
答：（1）火星表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}$；
（2）它第二次落到火星表面時(shí)速度大小為$\sqrt{\frac{8{π}^{2}h{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}+{{v}_{0}}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能熟練運(yùn)用．